Enunciado

Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

x + 1 2 - x < x 3 + x

Passo 1

Encontrar o conjunto solução é a mesma coisa que definir um intervalo para x, nesse caso. Vamos botar todo mundo do lado esquerdo da equação, depois ver as raízes dos polinômios que aparecerem e verificar os sinais com uma tabelinha.

Passo 2

Vamos começar passando todo mundo pro lado esquerdo da inequação:

x + 1 2 - x - x 3 + x < 0

Tirando o MMC:

x + 1 3 + x 2 - x 3 + x - x 2 - x ( 2 - x ) ( 3 + x ) < 0

Expandindo:

2 x 2 + 2 x + 3 - x + 2 x + 3 < 0

Agora vamos considerar cada intervalo que altera o sinal dos polinômios. Vamos ver para que valores de x os nossos polinômios irão zerar.

Verificando as raízes do numerador por bhaskara:

∆   = 4 - 4 ∙ 2 ∙ 3 = - 20

Não temos raízes reais para o numerador, como o termo que acompanha o x 2 é positivo, temos que o numerado é positivo para todos os números reais.

No denominador teremos 2 raízes:

x =   2

e

x =   - 3

Passo 3

Com isso, vamos fazer uma tabela considerando todos os números reais, porém seccionando-os em intervalos. Esses intervalos serão os valores entre nossas raízes. Também vamos considerar as raízes dos polinômios. Queremos fazer isso para analisar o sinal de 2 x 2 + 2 x + 3 - x + 2 x + 3 . Nosso conjunto resposta será formado pela união dos conjuntos onde 2 x 2 + 2 x + 3 - x + 2 x + 3   é negativo.

Dá uma olhada na tabela que é tranquilo!

Da tabela vemos que os intervalos do nosso interesse são para x < - 3 e para x > 2 . Escrevendo como conjuntos, temos: - ∞ ,   - 3 e 2 ,   + ∞ . Daí o nosso conjunto solução será a união desses 2 conjuntos.

Conjunto solução: - ∞ ,   - 3 ∪   2 ,   + ∞

Passo 4

Na reta real, nós vamos querer todos os valores menores que - 3 e todos os valores maiores que 2 . Nosso conjunto solução na reta real:

Resposta

- ∞ ,   - 3 ∪   2 ,   + ∞

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