Enunciado

Resolva em x e escreva a resposta com a notação de valor absoluto

x - 2 x - 4 > x + 2 x

Passo 1

Precisamos encontrar os valores para os quais a nossa equação é verdadeira. Pra isso vamos analisá-la usando uma tabela de sinais seguindo essa metodologia:

  1. Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
  2. Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
  3. Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
  4. Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
  5. Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!

Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é sem stress ;)

Vamos botar todo mundo pro lado esquerdo:

x - 2 x - 4 - x + 2 x > 0

Fazendo o MMC:

x - 2 x - x - 4 x + 2 x x - 4 > 0

x 2 - 2 x - x 2 + 4 x - 2 x + 8 x x - 4 > 0

8 x x - 4 > 0

E dividindo ambos os lados por 8 :

1 x x - 4 > 0

Bem melhor, né? Agora podemos achar as raízes dos polinômios do denominador e determinar nossos intervalos da tabela de sinais:

Passo 2

As raízes do denominador serão:

x 1 = 0

x 2 = 4

Passo 3

Daí podemos definir os nossos intervalos de análise de sinal:

- ∞ ,   0 ,   0 ,   4 ,   ( 4 ,   + ∞ )

Como o nosso intervalo de interesse é aberto   ( > 0 ) , não precisamos nos preocupar com o valor da nossa função nas raízes!

Passo 4

A nossa tabelinha de análise de sinal vai ficar:

Prontinho! Agora é só definir os intervalos que satisfazem a condição   1 x x - 4 > 0 .

Passo 5

Como queremos os intervalos que a nossa função é positiva, vamos ficar com os intervalos:

- ∞ ,   0 ,   ( 4 ,   + ∞ )

E o nosso intervalo resultante será a união dos dois!

Mas lembre-se que a questão o pede com notação de valor absoluto, então vai rolar alguma maracutaia nesse conjunto solução aí.

Passo 6

Na reta numérica, esse é o nosso intervalo:

Podemos representar ele como:

x < 0       o u       x > 4

Queremos chegar em algo do tipo:

x - a > b

Vamos realizar algumas manipulações e chegamos rapidinho nisso daí. Se subtrairmos 2 em ambas as inequações ficamos com:

x - 2 < - 2       o u       x - 2 > 2

E isso é uma das formas de definir módulo! Ou seja:

x - 2 > 2

Resposta

x - 2 > 2

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