Enunciado

Resolva em x e escreva a resposta com a notação de valor absoluto

x + 5 x + 3 < x + 1 x - 1

Passo 1

Precisamos encontrar os valores para os quais a nossa equação é verdadeira. Pra isso vamos analisá-la usando uma tabela de sinais seguindo essa metodologia:

  1. Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
  2. Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
  3. Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
  4. Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
  5. Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!

Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é sem stress ;)

Vamos passar todo mundo pro lado esquerdo:

x + 5 x + 3 - x + 1 x - 1 < 0

Tirando o MMC:

x + 5 x - 1 - x + 1 x + 3 x + 3 x - 1 < 0

Simplificando:

x 2 + 5 x - x - 5 - x 2 + x + 3 x + 3 x + 3 x - 1 < 0

x 2 + 4 x - 5 - x 2 - 4 x - 3 x + 3 x - 1 < 0

8 x + 3 x - 1 < 0

Agora dividindo tudo por 8 ficamos com a equação do jeitinho que a gente quer:

1 x + 3 x - 1 < 0

Agora ficou moleza, né? Só encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do numerador e montar a nossa tabelinha de análise de sinal.

Passo 2

Nossas raízes serão, em ordem crescente:

x 1 = - 3

x 2 = 1

Passo 3

Com as raízes, podemos definir os intervalos que analisaremos na tabela. Como o nosso intervalo não inclui o 0 , não precisamos analisar o valor do polinômio nas raízes em si. Daí ficamos com os intervalos:

- ∞ ,   - 3 , - 3 ,   1 ,   ( 1 ,   + ∞ )

Passo 4

Botando o que temos na nossa tabela de sinal:

Agora é só correr pro abraço!

Passo 5

Juntando os intervalos que satisfazem a nossa condição ficamos com o nosso conjunto solução:

x < - 3       o u       x > 1

Porém essa ainda não é a resposta, precisamos representar esse intervalo em termos de valor absoluto.

Passo 6

Na reta numérica, o nosso intervalo fica:

Agora ficou fácil né? Como o nosso intervalo está centrado no - 1 , ficaremos com | x + 1 | e como a largura do nosso intervalo é de 2 pra cada lado do centro do nosso intervalo, ficamos com:

x + 1 > 2

E prontinho!

Resposta

x + 1 > 2

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