Enunciado

Resolva a inequação

i ) (2 x - 3)/(x^2 + 1) > 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Como temos uma divisão de dois fatores, precisamos fazer o estudo dos sinais separadamente para depois analisar a divisão. Lembrando que a divisão de dois fatores de sinais iguais dá um resultado positivo, sinais diferentes dá um resultado negativo:

(+) -: (+) = (+)

(-) -: (-) = (-)

(+) -: (-) = ( - )

Ok?

Passo 2

Analisando o sinal de 2 x - 3 :

2 x - 3 = 0 :. x = 3 // 2

Então temos uma mudança de sinal em x = (3)/(2) . Agora vamos ver em torno:

  • Antes de x = 3 // 2 , por exemplo em x = 0 :
  • 2.0 - 3 < 0

    temos que a função assume valores negativos.

  • Depois de x = 3 // 2 , por exemplo em x = 2 :

2.2 - 3 > 0

temos que a função assume valores positivos.

Passo 3

Agora analisando o fator ( x^2 + 1 ) . Resgatando o resultado do problema 12 temos que se um polinômio de segundo grau do tipo a x^2 + b x + c tiver Delta < 0 , então o sinal da equação será dado pelo sinal do coeficiente a .

Vamos confirmar se o Delta é mesmo negativo:

Delta = b^2 - 4 a c = 0^2 - 4.1 . 1 = - 4 < 0

Beleza! Então temos que o sinal de toda equação será dado pelo coeficiente a .

Nesse caso temos que a = 1 , então temos que a > 0 . Sendo assim, concluímos que x^2 + 1 é maior do que zero independente do valor de x .

Passo 4

Agora vamos combinar os resultados:

Antes de x = 3 // 2 , o primeiro fator é negativo e o segundo é positivo, logo a divisão deles resultará em um valor negativo.

Depois de x = 3 // 2 , ambos fatores são positivos, então a divisão deles resultará em um valor positivo.

Sendo assim, o intervalo de interesse será x > 3 // 2 .

Resposta

x > 3 // 2

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