Enunciado

Resolva o problema do Exercício 15 se S for um quadrado 16 por 16 .

Passo 1

Vamos refletir, a gente tem um retângulo. E no mesmo plano tem um quadrado, que tem o vértice na reta y = - 3 x . Olha como fica num desenho:

A interseção entre essas figuras é esse retângulo mais clarinho. O que a gente precisa fazer é descobrir a maior área que esse retângulo pode ter.

Para descobrir isso, a gente precisa encontrar uma função que descreve essa área e descobrir o maior valor dela.

Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

A gente sabe que o quadrado tem o vértice na reta y = - 3 x . Então a gente pode dizer que o vértice dele está no ponto:

P = ( x , - 3 x )

Mas repara que esse ponto só pode estar dentro do retângulo. Isso significa que esse x não vai ser todos os reais, mas só os valores de x para quais a reta está dentro desse retângulo.

Pela localização do nosso retângulo, vemos que y = - 3 x está entre as retas:

y = 12 ,     y = - 12

Substituindo esses valores de y em y = - 3 x , e isolando x , achamos:

x = 4 ,     x = - 4

Por isso, podemos dizer que nosso x está entre esses valores. Reescrevendo nosso vértice:

P = x , - 3 x ,     x ∈ [ - 4,4 ]

Passo 3

Vamos olhar uma figura nova:

Queremos a área do retângulo menor, que podemos escrever como:

A = a b

Mas quem é a e b ?

Olhando para figura, vemos que a é um valor que está entre x = 8 e a coordenada x do ponto P , que vale x . Podemos dizer então:

a = 8 - x

E repara b é o comprimento do lado do quadrado, que pelo enunciado vale 16 . Então:

b = 16

Reescrevendo a área:

A = 8 - x ⋅ 16 = 128 - 16 x

Passo 4

Mas não para por aí. E se o nosso quadrado estiver localizado dessa forma:

O que acontece se o vértice dele estiver mais para cima desse jeito? Bem aí o valor de a permanece igual, mas b se torna o valor entre y = 12 e a coordenada y do ponto P , que vale - 3 x . Então:

b = 12 - - 3 x = 12 + 3 x

E a área fica:

A x = ( 8 - x ) ( 12 + 3 x ) = - 3 x 2 + 12 x + 96

Mas essa área vai valer para valores de x onde b < 16 . Vamos descobrir esses valores:

12 + 3 x < 16

x < 4 3

Então nossa função área fica assim:

A x = - 3 x 2 + 12 x + 96 ,     x < 4 / 3 16   8 - x ,     x ≥ 4 / 3

Passo 5

Com a expressão da área, podemos tentar descobrir o valor máximo dela. Como ela é um polinômio, o valor máximo vai acontecer nos extremos ou valores de x onde A ' ( x ) = 0 . Esses serão nossos candidatos!

Vamos derivar essa função da área e igualar a zero. Como ela é definida por partes, precisamos derivar cada parte. Para x < 4 / 3 :

A x = 128 - 16 x

A ' x = - 16

Vemos então que essa derivada não zera, seja qual for o valor de x .

Para x ≤ 4 / 3 :

A x = - 3 x 2 + 12 x + 96

A ' x = - 6 x + 12

Igualando a zero:

- 6 x + 12 = 0 ∴ x = 2

Passo 6

Nossos candidatos são:

x = - 4 ,     x = 4 3 ,     x = 2 ,     x = 4

Agora a gente sustitui eles na função da área para saber qual resulta no maior valor de A ( x ) :

A x = - 3 x 2 + 12 x + 96 ,     x < 4 / 3 16   8 - x ,     x ≥ 4 / 3

A - 4 = - 3 ⋅ - 4 2 + 12 ⋅ - 4 + 96 = 0

A 4 / 3 = 128 - 16 ⋅ 4 3 = 320 3 = 106,67

A 2 = 128 - 16 ⋅ 2 = 96

A 4 = 128 - 16 ⋅ 4 = 64

O que resultou no maior valor foi x = 4 / 3 , e a gente descobriu que a área máxima da região que o enunciado pediu é:

A x = 320 3

Resposta

A x = 320 3

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