Resolva os problemas de valor inicial.

(4y'') - 20y' + 25y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -3

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r 2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C 1 e C 2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

4 r 2 - 20 r + 25 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = 20 + 400 - 4 4 25 2 × 4 = 20 8 = 5 2

r 1 = 20 - 400 - 4 4 25 2 × 4 = 20 8 = 5 2

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = C 1 e 5 x 2 + C 2 x e 5 x 2

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y 0 = 2 :

2 = C 1 e 0 + C 2 ( 0 ) e 0

C 1 = 2

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y ' = 5 2 C 1 e 5 x 2 + 5 2 C 2 ( x ) e 5 x 2 + C 2 e 5 x 2

Aplicando o valor y ' 0 = - 3 :

- 3 = 5 2 C 1 + C 2 e 0

C 2 = - 3 - 5 2 ( 2 )

C 2 = - 8

Assim, a solução final é igual a:

y = 2 C 1 e 5 x 2 - 8 x e 5 x 2

Resposta

A solução final da equação é:

y = 2 C 1 e 5 x 2 - 8 x e 5 x 2

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