Enunciado

41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

43. x y 2 z 3 = 8 ,   2 ,   2 ,   1

Passo 1

a) A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:

x - x o ,   y - y o ,   z - z o ∙ ∇ f = 0

Então o que devemos descobrir aqui é quanto vale esse gradiente! Ele pode ser calculado assim:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

As derivadas no ponto em questão serão:

f x ,   y ,   z = x y 2 z 3

f x = y 2 z 3 ⇒ f x 2 ,   2 ,   1 = 2 2 . 1 3 = 4

f y = 2 x y z 3 ⇒ f y 2 ,   2 ,   1 = 2.2 . 2.1 3 = 8

f z = 3 x y 2 z 2 ⇒ f z 2 ,   2 ,   1 = 3.2 . 2 2 . 1 2 = 24

∴ ∇ f 2 ,   2 ,   1 = ( 4 ,   8 ,   24 )

Passo 2

Agora que descobrimos o gradiente da função, vamos realizar aquele produto escalar que escrevemos lá em cima, saca só:

x - 2 ,   y - 2 ,   z - 1 ∙ 4 ,   8 ,   24 = 0

4 x - 8 + 8 y - 16 + 24 z - 24 = 0

4 x + 8 y + 24 z = 48

∴ x + 2 y + 6 z = 12

Que é a equação do plano tangente!

Passo 3

b) Já para encontrarmos a equação da reta normal devemos fazer:

x ,   y ,   z = x o ,   y o ,   z o + t . ∇ f

Substituindo os valores que temos:

x ,   y ,   z = 2 ,   2 ,   1 + t . ( 4 ,   8 ,   24 )

∴ x = 2 + 4 t ,   y = 2 + 8 t   e   z = 1 + 24 t

Que são as equações paramétricas da reta normal!

Resposta

a) x + 2 y + 6 z = 12

b) x = 2 + 4 t ,   y = 2 + 8 t   e   z = 1 + 24 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: x 2 + y 2 + z 2 = 4 ; P 0 1,1 , 2 ,P 1 1,1 , - 2
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados. x - y 2 = - 4 ; P 0 - 3,1
Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: z = x 2 + y 2 - 1 ; P 0 1,1 , 1
Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: x + 1 2 y + 1 3 z = 1 ; P 0 1,2 , - 3
Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: x 2 4 + y 2 + z 2 9 = 1 ; P 0 0 , 1 2 , 3 3 2