Enunciado

a) Resolva o sistema u = x + 2y, v = x y para x e y em termos de u e y. Em seguida, encontre o valor do jacobiano ∂(x, y)/∂(u, y).

b) Encontre a imagem pela transformacao u = x + 2y, v = x y da regiao triangular no plano xy delimitada pelas retas y = 0, y = x e x + 2y = 2. Esboce a regiao transformada no plano uy.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Então vamos resolver primeiro o sistema dado na letra (a) em que

u = x + 2 y

v = x - y

Vamos ficar com,

3 y = u - v

x = v + y

Com isso ,

x = 1 3 u + 2 v e y = 1 3   ( u - v )

Agora resolvendo o jacobiano vamos ficar com ,

∂ x , y ∂ ( u , v ) = 1 3 2 3 1 3 - 2 3 = - 1 9 - 2 9 = - 1 3

Passo 2

Já na letra (b) ele pede para achar a imagem pela transformação u = x + 2y, v = x y da regiao triangular no plano xy delimitada pelas retas y = 0, y = x e x + 2y = 2.

Sendo a região triangular no plano x y com os vertices 0,0 ,   2,0   e   2 3 , 2 3   , com o segmento da linha y = x para 0,0   2 3 , 2 3 de x - y = 0 → v = 0 e y = 0 para 0,0 e   ( 2,0 ) para u = v o segmento vai ficar ,

x + 2 y = 2 , para 2 3 , 2 3 para 2,0 → u = 2

Resposta

u = v , ( 2,2 )

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