Enunciado

Resolva

x ˙ = 2 y y ˙ = - x

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0     a u t o v a l o r e s

e

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ ⋅ m n = 0     ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a 12 e a 21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0 - λ 2 - 1 0 - λ = 0

λ 2 + 2 = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que λ 1 = i 2 e λ 2 = - i 2 . Então caímos no caso 2, onde os autovalores são diferentes. Calculando nossos autovetores para λ 1 então, teremos que:

- i 2 2 - 1 - i 2 ⋅ m n = 0

- i 2 m + 2 n = 0

- m - i 2 n = 0

Se multiplicarmos a segunda equação por i 2 , vamos chegar na primeira, assim temos que ambas as relações são equivalentes a:

- i 2 m + 2 n = 0

n = i 2 2 m

Para m = 1 , temos que n = i 2 2 . Assim, nosso autovetor é:

1 2 2 i

Assim

x y = 1 2 2 i e i 2 t

é uma solução. Como:

e i 2 t = 1 2 cos ⁡ 2 t + i sin ⁡ 2 t

Temos que:

x = 1 2 2 cos ⁡ 2 t + 2 i sin ⁡ 2 t y = 1 2 - 2 sin ⁡ 2 t + i 2 cos ⁡ 2 t .

Pelo exemplo 5, temos que:

2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t   e   2 sin ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t

Também são soluções do nosso sistema. Assim, nossa solução geral para a EDO fica:

x y = 1 2 ⋅ k 1 2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t e t + k 2 2 sin ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t .

Resposta

x y = 1 2 ⋅ k 1 2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t e t + k 2 2 sin ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t

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