Enunciado

Responda as questões abaixo justificando suas respostas:

f x = x - 2 2 3

  1. f ' 2 existe?
  2. Demonstre que o único valor de extremo local de f ocorre em x = 2 .
  3. O resultado do item (b) contradiz o teorema do valor extremo?
  4. Repita os itens(a) e (b) para f x = x - a 2 3 , substituindo 2 por a .

Passo 1

Solucionando o item a:

Derivamos a função e calculamos seu valor para x = 2

f x = ( x - 2 ) 2 3 = x 2 - 4 x + 4 3

f ' x = 2 ( 2 x - 4 ) 3 x 2 - 4 x + 4 3

Substituindo x por 2 , teremos:

f ' 2 = 2 ( 2 ( 2 ) - 4 ) 3 ( 2 ) 2 - 4 ( 2 ) + 4 3 = 0 0

Não, pois é indefinida no ponto.

Passo 2

Solucionando o item b:

Derivando a equação original, teremos:

f ' x = 2 ( 2 x - 4 ) 3 x 2 - 4 x + 4 3

Igualando-a a 0:

2 2 x - 4 3 x 2 - 4 x + 4 3 = 0

2 2 x - 4 3 x 2 - 4 x + 4 3 × x - 2 x - 2 = 0

2 2 x - 4 x - 2 3 x - 2 3 3 = 0

2 2 x - 4 x - 2 3 x - 2 = 0

2 2 x - 4 x - 2 = 0

2 x - 4 = 0

x = 2

x - 2 = 0

x - 2 = 0 2

x = 2

O único valor extremo da função é em x = 2 , visto que assume valores diferentes de 0 para qualquer outro valor real.

Passo 3

Solucionando o item c:

Não, porque o domínio da função são os números reais, logo qualquer intervalo fechado [a,b] criado para a função admitiria um máximo e um mínimo, sendo que a função só tem um mínimo global em x = 2 .

Passo 4

Solucionando o item d

  1. Derivamos a função e calculamos o valor de f ' ( a )
  2. f x = ( x - a ) 2 3 = x 2 - 2 a x + a ² 3

    f ' x = 2 ( 2 x - 2 a ) 3 x 2 - 2 a x + a ² 3

    Em f ' a , teremos:

    f ' a = 2 ( 2 a - 2 a ) 3 a 2 - 2 a × a + a ² 3 = 0 0

  3. Derivando a equação original, teremos:

f ' x = 2 ( 2 x - 2 a ) 3 x 2 - 2 a x + a ² 3

Igualando-a a 0:

2 ( 2 x - 2 a ) 3 x 2 - 2 a x + a ² 3 = 0

2 ( 2 x - 2 a ) 3 x 2 - 2 a x + a ² 3 × x - a x - a = 0

2 2 x - 2 a x - a 3 x - a 3 3 = 0

2 2 x - 2 a x - a 3 x - a = 0

2 2 x - 2 a x - a = 0

2 x - 2 a = 0

x = a

x - a = 0

x - a = 0 2

x = a

O único valor extremo da função é em x = a , visto que assume valores diferentes de 0 para qualquer outro valor real.

Os resultados são iguais aos de (a) e (b).

Resposta

(a) Não, pois é indefinida no ponto.

(b) O único valor extremo da função é em x = 2 , visto que assume valores diferentes de 0 para qualquer outro valor real.

(c) Não, porque o domínio da função são os números reais, logo qualquer intervalo fechado [a,b] criado para a função admitiria um máximo e um mínimo, sendo que a função só tem um mínimo global em x = 2 .

(d) O único valor extremo da função é em x = a , visto que assume valores diferentes de 0 para qualquer outro valor real.

Os resultados são iguais aos de (a) e (b).

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