Enunciado

A reta tangente à curva x 2 3 + y 2 3 = 1 , no ponto x 0 , y 0 , x 0 > 0 e y 0 > 0 , intercepta os eixos x e y nos pontos A e B , respectivamente. Mostre que a distância de A e B não depende de x 0 , y 0 .

Passo 1

Primeiramente devemos encontrar a reta tangente:

Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 = f x 0 :

Para f ' x 0 , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a x , para isso, devemos lembrar que a derivada de y é f ' x , assim:

x 2 3 + y 2 3 ' = 1 '

x 2 3 ' + y 2 3 ' = 1 '

2 3 ⋅ x 2 3 - 1 + 2 3 ⋅ y 2 3 - 1 ⋅ y ' = 0

2 3 ⋅ y - 1 3 ⋅ y ' = - 2 3 ⋅ x - 1 3

y ' y 3 = - 1 x 3

y ' = - y 3 x 3

f ' x = - y x 3

Assim, no ponto x 0 , y 0 , temos f ' x 0 = - y 0 x 0 3 .

Passo 2

Retomando a fórmula y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 , temos:

y - y 0 = - y 0 x 0 3 x - x 0

y - y 0 y 0 1 3 = - x - x 0 x 0 1 3

y y 0 1 3 - y 0 y 0 1 3 = - x x 0 1 3 + x 0 x 0 1 3

y y 0 1 3 + x x 0 1 3 = x 0 x 0 1 3 + y 0 y 0 1 3

y y 0 1 3 + x x 0 1 3 = x 0 2 3 + y 0 2 3

Se x 0 , y 0 pertence à curva x 2 3 + y 2 3 = 1 , então x 0 2 3 + y 0 2 3 = 1 , e portanto, a equação da reta tangente será dada por:

y y 0 3 + x x 0 3 = 1

Passo 3

Agora, precisamos achar as interseções com os eixos que são os pontos A e B :

Vamos supor A a interseção com o eixo x ( y = 0 ) , então:

0 y 0 3 + x x 0 3 = 1  

x = x 0 3

A = x 0 3 , 0

Agora para B a interseção com o eixo y ( x = 0 ) :

y y 0 3 + 0 x 0 3 = 1  

y = y 0 3

B = 0 ,   y 0 3

Então, a distância D entre A e B é dada por:

D = x B - x A 2 + y B - y A 2 D = 0 - x 0 3 2 + y 0 3 - 0 2

D = x 0 3 2 + y 0 3 2

D = x 0 2 3 + y 0 2 3

Se sabemos que x 0 2 3 + y 0 2 3 = 1 :

D = 1

D = 1

Assim, para qualquer x 0 , y 0 , a distância entre A e B será sempre 1 , ou seja, provamos que a distância de A e B não depende de x 0 , y 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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