Enunciado

Rota de um esquiador aquático – Suponha que um barco tenha sido posicionado na origem com um esquiador amarrado no ponto (30,0), como uma corda de 30 pés de comprimento. À medida que o barco viaja ao longo do eixo das ordenadas positivo, o esquiador é puxado pelo barco ao longo de um caminho desconhecido y = f ( x ) como mostra a figura a seguir:

  1. Mostre que f ' x =   - 900 - x 2 x
  2. Resolva a equação do item a para f ( x ) usando f 30 = 0

Passo 1

  1. Galera, é o seguinte, temos um problema e para resolver precisamos observar a imagem dada na questão:
  2. A inclinação da linha tangente a f ( x ) é dada por f ' ( x ) . Vamos considerar o triângulo cuja a hipotenusa é a corda de 30 pés. A base desse triângulo corresponde a medida x   e encontraremos a altura usando o Teorema de Pitágoras:

    Chamaremos:

    Hipotenusa y

    Cateto 1: x

    Cateto 2: h

    Assim, teremos:

    h 2 = x 2 + y 2

    30 2 = x 2 + h 2

    900 = x 2 + h 2

    h 2 = 900 - x 2

    h =   900 - x 2

    Temos que a altura é h =   900 - x 2  

    A inclinação da reta tangente é dada por ∆ y ∆ x   que é a variação no eixo x sobre a variação no eixo y, o gráfico nos mostra uma função decrescente e portanto essa variação é negativa. Portanto:

    ∆ y ∆ x = -   900 - x 2 x = f ' ( x )

    Passo 2

  3. Temos a f ' x . Então para encontrar a f ( x ) vamos integrar a f ' ( x )

f x =   ∫ -   900 - x 2 x   d x

Estamos diante de um caso de substituição trigonométrica, do tipo a 2 - x 2 . Assim vamos considerar:

x = 30 sin ⁡ θ

d x = 30 cos ⁡ θ   d θ

900 - x 2 = 30 cos ⁡ θ

E agora, substituímos na integral:

f x =   - ∫ 30 cos ⁡ θ 30 sin ⁡ θ .   30 cos ⁡ θ   d θ

= - 30   ∫ cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

= - 30   ∫ ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) sin ⁡ θ   d θ

= - 30 ∫ csc ⁡ θ   d θ + 30 ∫ sin ⁡ θ   d θ

= 30 ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ -     30 cos ⁡ θ + C

f ( x ) = 30 ln ⁡ 30 x +   900 - x 2 x -   900 - x 2 + C

Passo 2

Queremos a f 30 = 0 , então onde tiver x colocaremos 30 e substituímos f x por 0:

0 = 30 ln ⁡ 30 30 +   900 - 30 2 30 -   900 - 30 2 + C

= 30 ln ⁡ 1 + 0 - 0 + C

= 30 ln ⁡ 1 + C

C = 0

Resposta

  1. 900 - x 2 x
  2. C = 0
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