Enunciado

Sabemos do exemplo 1 que a região R = x , y x ≥ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 / x } tem área infinita. Mostre que pela rotação de R em torno do eixo x obtemos um sólido com volume finito.

Passo 1

A questão pede para calcularmos o volume do sólido gerado pela rotação da região R (abaixo da curva y = 1 / x de x = 1 até infinito) em torno do eixo x .

Um exemplo de um disco para o método do disco é mostrado para x = 2

O raio do disco é r = 1 x

E a área do disco é A x = π r 2 = π x 2

Esse volume é descrito pela integral imprópria

V = ∫ 1 ∞ π r 2 d x ,

onde r é y como função de x . Assim,

V = π ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

Passo 2

Vamos ver se a integral imprópria converge calculando primeiro a integral ∫ 1 t 1 x 2 d x :

∫ 1 t 1 x 2 d x = - 1 x 1 t = 1 - 1 t

Fazendo t → ∞ , temos que

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ 1 - 1 t = 1

Assim,

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = 1

Portanto,

V = π ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = π

Resposta

π

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