Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que

0 ≤ x ≤ 8     e 0 ≤ y ≤ x 3

Passo 1

Primeiro vamos entender o que se passa e o que se pede analisando o gráfico abaixo:

y = x 3 ,   c o m   0 ≤ x ≤ 8

Vamos criar pequenos retângulos entre o eixo x e o x 3 com largura infinitesimal (que poderemos aproximar para dx) e rotacionar esse relangulo em volta do eixo x criando cilindros.

Analisando o gráfico, você descobre que o raio desses cilindros é sempre a distância entre o eixo y e o valor de x avaliado no meio do dx.

Sabemos que o volume desses cilindros é: 2 π r × h × l , sendo que l é espessura do cilindro (que vimos ser dx), h vai ser a distância entre x 3 e 0 (que é o próprio x 3 ) e r é a distância do eixo y até o x (que vai ser sempre x).

Assim, somando todos esses cilindros teremos:

∫ 2 π x × x 3 × d x

E como o exercício diz que o conjunto tem x variando de 0 a 8 temos também os limites de integração

∫ 0 8 2 π x × x 3 × d x

Mão na massa!

Passo 2

∫ 2 π x × x 3 × d x

Podemos reescrever a equação de dentro sendo:

∫ 2 π x 1 × x 1 3 × d x = 2 π ∫ x 1 + 1 3 d x = 2 π ∫ x 4 3 d x

Resolvendo:

2 π ∫ x 4 3 d x = 2 π 3 7 x 7 3 + c

Passo 3

Agora aplicando os limites de integração:

∫ 0 8 2 π x 4 3 d x =   2 π 3 7 x 7 3 + c 8 0 = 2 π 3 7 8 7 3 + c - 0 + c = 6 π 7 8 1 3 × 8 2 =

= 6 π 7 2 3 1 3 × 8 2 = 6 π 7 2 × 64 = 768 π 7

Resposta

V = ∫ 2 π x × x 3 × d x =   768 π 7

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