Enunciado

Sabendo-se que o centro de massa ( x c , u c , z c ) de uma superfície S é definido por

x c = ∬ S x f x , y , x d s M , y c = ∬ S y f x , y , x d s M e z c = ∬ S z f x , y , x d s M ,

onde M é a massa total de S e f ( x , y , z ) é a densidade em cada ponto x , y , z ϵ S , calcule o centro de massa das seguintes superfícies com densidade constante.

b) S é a parte da superfície cônica z 2 = x 2 + y 2 compreendida entre os planos z = 1 e z = 2 .

Passo 1

Bom galerinha, nós temos uma z 2 = x 2 + y 2 que está entre os planos z = 1 e z = 2 , uma vez que z = x 2 + y 2 . Ou seja, o que queremos calcular é essa “partezinha” entre os planos z = 1   ( a m a r e l o ) e z = 2   ( v e r d e ) .

Passo 2

Nossas coordenas são:

t , θ = ( r   c o s   θ , r   s e n   θ ,   r )

Com os intervalos de integração: 1 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Olhando, agora, só para o plano x y , temos que:

( x , y = x , y , x 2 + y 2

E

D : x , y ,   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

Passo 3

Agora, basta calcularmos o centro massa.

Resposta

0,0 ,   14 / 9

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Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f x , y , z = x y ;σ u , v = u - v , u +v ,2 u + v + 1 ,0 ≤ u ≤ 1e0 ≤ v ≤ u .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = y ;σ u , v = u , v , 1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ u .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = x 2 + y 2 ;σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 1 . (Fica entendido aqui que σ é a parametrização mais “natural” do conjunto dado).
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: g )f x , y , z = x ;σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 1ez = 3 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: c )f x , y , z = 2 e σ u , v = u , v ,1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ 1 .