Enunciado

Sabe-se que y = c 1 e 4 x + c 2 e - x é uma família a dois parâmetros de soluções para y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0 no intervalo - ∞ ,   ∞ . Encontre um membro dessa família que satisfaça as condições iniciais y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2 .

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão sobre família de soluções devemos observar algumas coisas, ok? A primeira delas é que a ordem da nossa equação diferencial dirá quantas constantes arbitrárias nossa solução terá.

A segunda é que devemos derivar a solução geral que nos foi dada para podermos aplicar as condições iniciais dadas para, aí sim, descobrirmos os valores das constantes. Parece complicado, né? Mas prometo que não é, saca só!

A solução que nos foi dada é:

y = c 1 e 4 x + c 2 e - x

Além disso, sabemos que:

y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0

Então vamos encontrar y ' para aplicarmos as condições iniciais, beleza? Show!

Passo 2

Derivando nossa função, teremos:

y ' = 4 c 1 e 4 x - c 2 e - x

As condições iniciais são: y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2 . Aplicando a primeira, teremos:

y = c 1 e 4 x + c 2 e - x

1 = c 1 + c 2

∴ c 1 = 1 - c 2

Agora aplicando a segunda, teremos:

y ' = 4 c 1 e 4 x - c 2 e - x

2 = 4 c 1 - c 2

Então temos o seguinte sisteminha:

c 1 = 1 - c 2 2 = 4 c 1 - c 2

Bora que bora resolve-lo!

Passo 3

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

2 = 4 1 - c 2 - c 2

2 = 4 - 4 c 2 - c 2

- 2 = - 5 c 2

∴ c 2 = 2 5

E disso tiramos que:

c 1 = 1 - 2 5

∴ c 1 = 3 5

Substituindo na nossa solução, teremos que um membro da família será:

y = 3 5 e 4 x + 2 5 e - x

E é essa nossa resolução! 😉

Resposta

y = 3 5 e 4 x + 2 5 e - x

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