Enunciado

Encontre um membro da família de soluções para x y ' ' - y ' = 0 dada no problema 6, que satisfaça as condições de contorno y 0 = 1 ,   y ' 1 = 6 . O teorema 4.1 garante que esta solução é única?

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão sobre família de soluções devemos observar algumas coisas, ok? A primeira delas é que a ordem da nossa equação diferencial dirá quantas constantes arbitrárias nossa solução terá.

A segunda é que devemos derivar a solução geral que nos foi dada para podermos aplicar as condições iniciais dadas para, aí sim, descobrirmos os valores das constantes. Parece complicado, né? Mas prometo que não é, saca só!

A solução que nos foi dada é:

y = c 1 + c 2 x 2

Além disso, sabemos que:

x y ' ' - y ' = 0

Então vamos encontrar y ' para aplicarmos as condições iniciais, beleza? Show!

Passo 2

Derivando nossa função, teremos:

y ' = 2 c 2 x

As condições iniciais são: y 0 = 1 ,   y ' 1 = 6 . Aplicando a primeira, teremos:

1 = c 1

Aplicando a segunda, teremos:

6 = 2 c 2

∴ c 2 = 3

Substituindo na nossa solução, teremos:

y = 1 + 3 x 2

Quando a pergunta do enunciado: o teorema não garante que a solução é única porque y e y ' são avaliados em pontos diferentes. Para a solução ser única os pontos deveriam ser idênticos! 😉

Resposta

y = 1 + 3 x 2

O teorema 4.1 não garante que a solução é única.

Exercícios de Livros Relacionados

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Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - y ' = e x
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Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' - 3 y = x + 2
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + 3 y ' + 2 y = s e n ( e x )
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 1 1 + e - x
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Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + y = sec 2 ⁡ x ,   0 < x < π / 2
Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' + y = e 2 x
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