Enunciado

Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C . Inicialmente, há 40 g ramas de A e 50 gramas de B ,e para cada grama de B , 2 gramas de A são usados. É observado que 10 gramas de C são formados em 5 minutos. Quanto é formado em 20 minutos? Qual é a quantidade limite de C após um longo período de tempo? Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?

Passo 1

Então pessoal, antes de tudo temos que para esse tipo de problema a equação que define a situação tem o seguinte formato:

d X d t = k A - X B - X

No qual X é a quantidade em gramas do composto C e α e β são as quantidades dadas dos dois primeiros compostos químicos A e B . Se tivermos, digamos, 2 gramas do composto C , teremos usado a gramas de A e b gramas de B , de tal forma que:

a + b = 2   e   a = 2 b

Esse a = 2 b surge do enunciado, que nos diz que para cada grama de B , 2 gramas de A são usados. Logo, teremos:

2 b + b = 2

b = 2 3 = 2 . 1 3 g

E então a será:

a = 2.2 3 = 2 . 2 3 g

Show!

Passo 2

Com as informações que obtivemos, tiramos que para X g de C devemos usar:

2 X 3 g de A e X 3 g de B

E então a nossa expressão virará:

d X d t = 40 - 2 X 3 50 - X 3

Simplificando, teremos:

d X d t = 120 - 2 X 3 150 - X 3

Colocando esse 1 3 em evidência surge a constante k :

d X d t = k 120 - 2 X 150 - X

E essa é a nossa equação diferencial! Agora que determinarmos a equação diferencial precisamos resolve-la para termos uma expressão para X t , ok? Então vamo que vamo!

Passo 3

Isolando as variáveis, teremos:

d X 120 - 2 X 150 - X = k d t

Utilizando frações parciais, teremos:

1 120 - 2 X 150 - X = A 120 - 2 X + B 150 - X

Disso, nós tiramos que:

A 150 - X + B 120 - 2 X = 1

150 A - A X + 120 B - 2 B X = 1

Criando um sistema, teremos:

150 A + 120 B = 1 A X + 2 B X = 0

Da segunda equação tiramos que:

A = - 2 B

Substituindo na primeira equação:

150 . - 2 B + 120 B = 1

120 B - 300 B = 1

∴ B = - 1 180

E com isso tiramos que A vale:

A = 1 90

Voltando para a nossa divisão, teremos:

d X 120 - 2 X 150 - X = k d t

1 90 . 1 120 - 2 X d X - 1 180 . 1 150 - X d X = k d t

Então vamos integrar isso aí e resolver!

Passo 4

Integrando ambos os lados:

1 90 ∫ 1 120 - 2 X d X - 1 180 ∫ 1 150 - X d X = k ∫ d t

Para a primeira integral da esquerda, teremos:

1 90 ∫ 1 120 - 2 X d X = - 1 180 ln ⁡ 60 - X + c 1

Para a segunda integral da esquerda, teremos:

1 180 ∫ 1 150 - X d X = - 1 180 ln ⁡ 150 - X + c 2

E para a integral da direita, teremos:

k ∫ d t = k t + c 3

Juntando os resultados, teremos:

- 1 180 ln ⁡ 60 - X + c 1 + 1 180 ln ⁡ 150 - X + c 2 = k t + c 3

1 180 ln ⁡ 150 - X - ln ⁡ 60 - X = k t + c

ln ⁡ 150 - X 60 - X = 180 k t + c

X - 150 X - 60 = c e 180 k t

Isolando X , teremos:

X t = 60 c e 180 k t - 150 c e 180 k t - 1

E essa é a nossa expressão para X ! Agora aplicando a condição inicial X 0 = 0 , teremos:

0 = 60 c e 0 - 150 c e 0 - 1

60 c = 150

∴ c = 2,5

Substituindo, teremos:

X t = 150 e 180 k t - 150 2,5 e 180 k t - 1

Passo 5

Agora que encontramos C devemos encontrar k , certo? Aplicando a condição X 5 = 10 , teremos:

10 = 150 e 900 k - 150 2,5 e 900 k - 1

∴ k = 0,0001259

Substituindo na equação:

X t = 150 e 0,022 t - 150 2,5 e 0,022 t - 1

E essa é a nossa expressão final! Para t = 20 , teremos:

X 20 = 150 e 0,022 t - 150 2,5 e 0,022 t - 1 = 82,6 2,88

∴ X ( 20 ) ≅ 28,7 g

Para t → ∞ temos que:

X → 60

Para esse valor de X , temos que A e B serão:

A = 40 - 40 = 0

B = 50 - 20 = 30

E está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

X t = 150 e 0,022 t - 150 2,5 e 0,022 t - 1

X 20 ≅ 28,7 g

Para t → ∞ , temos que: X → 60

E para X → 60 , temos que A = 0 e B = 30

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Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.1. x e 2 y . d y d x + e 2 y = ln ⁡ x x
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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. 2 y y ' + x 2 + y 2 + x = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. sen ⁡ y   s e n h   x   d x + cos ⁡ y cosh ⁡ x   d y = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y d x d y + 2 x ln ⁡ x = x e y
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x e y y ' - 2 e y = x 2
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + y ' 2 + 1 = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0