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Seja f : R → R , derivável e tal que para todo x , f ' x = α   f x , α constante não nula. Prove que existe uma constante k , tal que, para todo x , f x = k   e α x .

Passo 1

Pessoal, sendo a função f x = k   e α x , com k constante, vamos derivá-la e mostrar que ela satisfaz a primeira equação f ' x = α   f x .

Vamos lá!

Passo 2

Então temos que derivar,

f x = k e α x

Como k é uma constante, podemos escrever assim,

f ' x = k e α x '

Para derivar o que está dentro dos parênteses usamos a regra da cadeia,

f ' x = k α e α x

Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos escrever assim,

f ' x = α k e α x

Ou seja,

f ' x = α   f x

Beleza?

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Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x t ,   t ≥ 0 . Determine x = x t , sabendo que v t = t 2 - 1 e x 0 = - 1
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5. Determine a função y = y x ,   x ∈ R , tal quee) d y d x = 1 2 x + 3 e y - 1 = 0
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Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação sec 2 ⁡ x 2 3 ⋅ sec 2 ⁡ x 3 - sec 2 ⁡ ( 3 2 x )
Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação 3 2 ⋅ x 1 2 x x + 1 x