Mostre que, para todo x > 0 , tem-se

  1. cos x > 1 - (x^2 / 2)
  2. sen x > x - x^3 / 3!

Passo 1

  1. Vamos considerar a expressão f x = cos ⁡ x - 1 - x 2 2
  2. Temos que:

    f 0 = cos ⁡ 0 - 1 - 0 2 2 = 1 - 1 = 0

    Vamos calcular f ' x :

    f ' x = cos ⁡ x - 1 - x 2 2 ' = - sen ⁡ x - 0 - 2 x 2 = - sen ⁡ x + x

    Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

    f ' x > 0 para x > 0 , assim f x é estritamente crescente em 0 , + ∞ .

    Assim temos que:

    f x > 0 → cos ⁡ x - 1 - x 2 2 > 0 → cos ⁡ x > 1 - x 2 2

    Passo 2

  3. Vamos considerar a expressão g x = sen ⁡ x - x - x 3 3 !

Temos que:

g 0 = sen ⁡ 0 - 0 - 0 3 3 ! = 0

Vamos calcular g x :

g ' x = sen ⁡ x - x - x 3 6 ' = cos ⁡ x - 1 - 3 x 2 6 = cos ⁡ x - 1 + x 2 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' x :

g ' x > 0 para x > 0 , assim g x é estritamente crescente em 0 , + ∞ .

Assim temos que:

g x > 0 → sen ⁡ x - x - x 3 3 ! > 0 → sen ⁡ x > x - x 3 3 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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