Enunciado

Seja P ( t ) a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos no instante t . A tabela fornece projeções dos valores desta função de 1995 a 2020 .

Qual o significado de P ' ( t ) ? Quais são as suas unidades?

Construa uma tabela de valores para P ' ( t )

Faça os gráficos de P   e P '

Passo 1

E aí como vai? 😬

Nesse problema foi dada uma tabelinha com os valores da população com mais de 60 anos das Filipinas de 1995 até 2020 . Os valores dados são esses aqui:

O item a) do enunciado pede pra explicarmos o significado de P ' t , a derivada de P t .

Além disso, de acordo com o item b), também precisamos usar esses valores de t e P t pra pra construir uma tabela pra P ' t .

E por fim, pra fechar o item c), precisamos fazer um esboço do gráfico P t e P ' t .

Para obter as derivadas de valores discretos como nesse caso, podemos simplificar a definição de derivada. Olha só:

P ' t = lim h → 0 ⁡ P t + h - P t h ≈ P t + h - P t h → P ' t = ∆ P ∆ t

Olha só que interessante. Isso significa que podemos aproximar a derivada, calculado a razão das diferenças entre os valores discretos consecutivos que temos na tabela. Vamos ver como fazer isso juntos.

Bora começar! 😉

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos atacar o item a) e tentar entender o significado de P   ' ( t ) .

Pra isso, precisamos lembrar que a derivada de uma função representa a sua taxa de variação. Ou seja, nesse caso o P   ' ( t ) seria a taxa na qual a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos está mudando ao longo do tempo.

Uma maneira um pouco mais concreta de enxergar isso é lembrar que se a porcentagem dessa população aumentar, P   ' ( t ) será positivo. Consequentemente, se esse porcentagem diminuir, P ' ( t ) sera negativo.

Baseado nessa interpretação, a unidade de P ' ( t ) será %/ano.

Passo 3

O item b) pede pra construirmos uma tabela com valores pra P ' t . Vamos relembrar os valores de P t dados:

Vamos calcular as estimativas dos valores da derivada com a simplificação:

P ' t = ∆ P ∆ t

Vamos começar calculando o valor de P ' 1995 . Como esse é um dos extremos, só conseguimos usar as informações dos pontos t = 1995 e t = 2000 . Olha só:

P ' 1995 = P 2000 - P 1995 2000 - 1995 = 5,5 - 5,2 5 →

→ P ' 1995 = 0,06

Vamos calcular agora para t = 2000 . Agora conseguimos usar o ponto anterior e o seguinte pra calcular as estimativas e usar a média entre os dois. Olha só:

P 1 ' 2000 = P 2000 - P 1995 2000 - 1995 = 0,06

P 2 ' 2000 = P 2005 - P 2000 2005 - 2000 = 6,1 - 5,5 5 →

→ P 2 ' 2000 = 0,12

Calculando a média, temos:

P ' 2000 = 0,06 + 0,12 2 = 0,09

Agora só precisamos repetir esse processo pra todos os pontos:

Para t = 2005 :

P 1 ' 2005 = P 2005 - P 2000 2005 - 2000 = 0,12

P 2 ' 2005 = P 2010 - P 2005 2010 - 2005 = 6,7 - 6,1 5 →

→ P 2 ' 2005 = 0,12

Calculando a média, temos:

P ' 2005 = 0,12 + 0,12 2 = 0,12

Para t = 2010 :

P 1 ' 2010 = P 2010 - P 2005 2010 - 2005 = 0,12

P 2 ' 2010 = P 2015 - P 2010 2015 - 2010 = 7,7 - 6,7 5 →

→ P 2 ' 2010 = 0,2

Calculando a média, temos:

P ' 2010 = 0,12 + 0,2 2 = 0,16

Para t = 2015 :

P 1 ' 2015 = P 2015 - P 2010 2015 - 2010 = 0,2

P 2 ' 2015 = P 2020 - P 2015 2020 - 2015 = 8,9 - 7,7 5 →

→ P 2 ' 2015 = 0,24

Calculando a média, temos:

P ' 2015 = 0,12 + 0,24 2 = 0,18

Para t = 2020 , calculamos usando apenas as informações em t = 2020 e t = 2015 :

P ' 2020 = P 2020 - P 2015 2020 - 2015 = 0,24

Com esses valores calculados, conseguimos construir a tabela:

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 4

Pra fechar o item c), precisamos traçar os gráficos de P t e P ' t . Como as escalas são bem diferentes, vamos fazer um gráfico pra cada um.

Gráfico de P t :

Gráfico de P ' t :

Ufa! Conseguimos terminar!

Resposta

a) P   ' ( t ) é a taxa na qual a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos está mudando em relação ao tempo. Sua unidade é %/ano.

b)

c)

Gráfico de P t :

Gráfico de P ' t :

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