Enunciado

Demonstre, pela definição de derivada, que se f x = cos ⁡ x , então f ' x = - sin ⁡ x .

Passo 1

E aí! tudo certinho?

O enunciado pede que usemos a definição de derivada para mostrar que a derivada de

f x = cos ⁡ x

É dada por

f ' x = - sin ⁡ x

Ou seja

cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x

Parece complicado?

Relembrando a definição de derivada de uma função:

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h )   -   f ( x ) h

Então vamos substituir f na definição e expressar o resultado.

Veja só!

Passo 2

Usando que f ( x ) = c o s   x , temos que

f ' ( x ) = l i m h → 0 cos ⁡ x + h - cos ⁡ x h

Vamos usar as identidades trigonométricas para reescrever cos ⁡ x + h

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sin ⁡ a sin ⁡ b

Ou seja...

cos ⁡ x + h = cos ⁡ x cos ⁡ h - sin ⁡ x sin ⁡ h

Substituindo em f '

f ' x = l i m h → 0 cos ⁡ x + h - cos ⁡ x h = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - sin ⁡ x sin ⁡ h - cos ⁡ x h

Vamos colocar cos ⁡ x em evidência...

f ' x = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 - sin ⁡ x sin ⁡ h h

Sabemos que o limite da soma é igual a soma dos limites, ou seja

f ' x = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - l i m h → 0 sin ⁡ x sin ⁡ h h

Colocamos cos ⁡ x e sin ⁡ x para fora do limite, já que o limite é em função de h

f ' x = cos ⁡ x l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 h - sin ⁡ x l i m h → 0 sin ⁡ h h

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos calcular um limite de cada vez...

Começando pelo do cosseno

l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 h

Se aplicarmos h = 0 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então temos que aplicar algum truque para mascarar esse problema.

Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador... veja só

l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 cos ⁡ h + 1 h cos ⁡ h + 1

l i m h → 0 cos 2 ⁡ h - 1 h cos ⁡ h + 1

Se sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , então cos 2 ⁡ x - 1 = - sin 2 ⁡ x .

l i m h → 0 - sin 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1

Podemos reescrever esse limite como

l i m h → 0 - sin 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1 = - l i m h → 0 sin ⁡ h h · l i m h → 0 sin ⁡ h cos ⁡ h + 1

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que

l i m h → 0 sin ⁡ h h = 1

Logo

l i m h → 0 - sin 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1 = - 1 · sin ⁡ 0 cos ⁡ 0 + 1

l i m h → 0 - sin 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1 = 0

Bacana, não é?

Passo 4

Agora, como já vimos que l i m h → 0 sin ⁡ h h = 1

Substituindo tudo que encontramos em f ' , vamos obter

f ' x = cos ⁡ x l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 h - sin ⁡ x l i m h → 0 sin ⁡ h h

f ' x = cos ⁡ x 0 - sin ⁡ x 1

f ' x = - sin ⁡ x

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

f ' x = - sin ⁡ x

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