Seja f x , y = e 1 x 2 + y 2 - 1 s e   x 2 + y 2 < 1 0 s e   x 2 + y 2 ≥ 1 .

a) Esboce o gráfico de f .

b) Determine ∂f/∂x e ∂f/∂y .

Passo 1

É dada uma função f de duas variáveis e o precisamos esboçar o gráfico da f , assim como obter suas derivadas.

Para esboçar o gráfico, devemos analisar um pouco o jeitão da f , vendo seus valores para alguns pontos- por exemplo.

Já para determinar as derivadas, basta derivar a função em duas situações:

-para a região onde x 2 + y 2 < 1

-para a região onde x 2 + y 2 ≥ 1

Passo 2

Pela equação da f , vemos que ela é zero para todos os pontos fora do círculo de raio 1 centrado na origem. Já dentro desse círculo, ela tem um comportamento exponencial.

De fato, para x 2 + y 2 = 1 , temos f = e 1 / ∞ = e 0 = 1 .

Para x = y = 0 temos f = e 1 0 - 1 = e - 1 . Ou seja, a função começa em 0 nas bordas do círculo de raio 1 e termina no valor e - 1 , como se a f fosse um chapéu ou algo assim.

A partir do que observamos, já podemos esboçar um gráfico aproximado:

Passo 3

Agora, para saber as derivadas da f , basta olhar o que que acontece nas duas regiões nas quais f está definida.

Para x 2 + y 2 ≥ 1 , temos f = 0 toda vida. Ou seja, suas derivadas também são nulas:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0 para x 2 + y 2 ≥ 1

Já na outra região, temos

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e 1 x 2 + y 2 - 1 = e 1 x 2 + y 2 - 1 ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 - 1 = - e 1 x 2 + y 2 - 1 1 x 2 + y 2 - 1 2 ∂ ∂ x x 2 + y 2 - 1

Ou seja

∂ f ∂ x = - e 1 x 2 + y 2 - 1 2 x x 2 + y 2 - 1 2

Analogamente, vamos obter

∂ f ∂ y = - e 1 x 2 + y 2 - 1 2 y x 2 + y 2 - 1 2

Resposta

a)

b) ∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0 para x 2 + y 2 ≥ 1

∂ f ∂ x = - e 1 x 2 + y 2 - 1 2 x x 2 + y 2 - 1 2 ∂ f ∂ y = - e 1 x 2 + y 2 - 1 2 y x 2 + y 2 - 1 2 para x 2 + y 2 < 1

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