Enunciado

Seja A   a área de um quadrado cujos lados têm comprimento x e suponha que x varie com o tempo t .

(a) Faça uma figura do quadrado com os dados A e x colocados apropriadamente.

(b) Escreva uma equação que relacione A e x .

(c) Use a equação de (b) para encontrar uma equação que relacione d A / d t e d x / d t .

(d) Em um certo instante, os lados medem 3   c m e crescem a uma taxa em 2   c m / m i n . Com que rapidez a área está crescendo naquele insante?

Passo 1

(a)

Passo 2

b

Pela fórmula da área podemos dizer que:

A = x 2

Passo 3

( c )

Derivando a equação da letra (b) em relação a t teremos:

d A d t = d ( x 2 ) d t

d A d t = d x 2 d x d x d t

d A d t = 2 x d x d t    

Passo 4

( d )

Bom, nessa ele da dois dados pra gente. O primeiro é que os lados medem 3   c m , daí tiramos que:

x = 3

E o segundo dado é que os lados crescem a uma taxa em 2   c m / m i n , ou seja:

d x d t = 2   c m / m i n

Substituindo na expressão encontrada na letra (c), teremos que:

d A d t = 2 x d x d t

d A d t = 2   3 c m 2   c m / m i n = 12   c m 2 / m i n

A taxa de variação é de 12 c m 2 / m i n

Resposta

(b) A = x 2

(c) d A d t = 2 x d x d t

(d) 12 c m 2 / m i n

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