Enunciado

Uma escada de 1,3 m está apoiada em uma parede e seu topo desliza sobre a parede para baixo a uma taxa de 0,2 m / s , com que rapidez a base da escada estará se afastando da parede quando o topo estiver 0,5 m acima do chão?

Passo 1

Vamos analisar com calma o que está acontecendo:

A topo da escada irá deslizar para baixo, de forma que a base dela escorregue no chão se afastando da parede.

Então chamando de x a distância da parede até a base da escada e de y a distância do chão até o topo da escada, podemos pelo Teorema de Pitágoras que:

x 2 + y 2 = 1 , 3 2

Passo 2

Pra relacionarmos as taxas com que x e y variam quando a escada é puxada podemos derivar essa expressão em relação ao tempo, fica assim ó:

d d t x 2 + y 2 = d d t 1 , 3 2

d x 2 d t   + d y 2 d t = d 1 , 3 2 d t

Mas derivada de constante é zero, lembra? Então continuando masss sem esquecer a Regra da Cadeia:

d x 2 d x d x d t   + d y 2 d y d y d t   = 0

2 x   d x d t   + 2 y     d y d t   = 0

Maneiroooo, achamos uma relação entre as taxas de variação de x e y .

Passo 3

Para gente descobrir a rapidez com que base da escada estará se afastando da parede, basta descobrirmos o d x / d t   naquele instante, concorda? Mas o que significam aqueles outros dados que o enunciado nos dá?

O topo deslizando sobre a parede a uma taxa de 0,2 m / s   nos diz que:

d y d t = -   0,2   m / s  

Lembrando de atentar pro sinal negativo, pois se o topo está descendo, y está diminuindo.

E além disso o topo da escada a 0,5 m acima do chão nos diz que y = 0 , 5   m .

Só que pra usarmos a expressão que encontramos ainda precisaríamos descobrir o y nesse instante. Pra isso podemos usar o Teorema de Pitágoras com y = 0 , 5   m :

x 2 + y 2 = 1 , 3 2

x 2 + 0 , 5 2 = 1 , 3 2

x 2 = 1,44         ⇒             x = 1 , 2 m

Passo 4

Showww, aí so precisamos substituir todos esses dados na expressão que encontramos ali em cima, ficamos com:

2 x   d x d t   + 2 y     d y d t   = 0

2 ( 1 , 2 )   d x d t   + 2 ( 0 , 5 )   ( - 0,2 )   = 0

2,4 d x d t = 0,2

d x d t   =     0,2 2,4     =     2 24     =     1 12 m / s

Então como tínhamos combinado, a rapidez com que a base da escada estará se afastando da parede é justamente o d x / d t . Então encontramos nossa resposta 😊

PS: Perceba que encontramos um d y d t > 0 , o que faz bastante sentido, porque se a base está se afastando, x   está aumentando.

Resposta

1 12 m / s

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