Lista de Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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No desenho, o ponto A representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio 5   m , com velocidade constante 0,1   m / s . Em cada instante, h é a distância de A até o diâmetro P Q .

Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância h no momento em que ela medir 4   m ?

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Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de 3   m/s . Quando o balão está a 48   m do solo, passa exatamente sob ele um automóvel viajando à velocidade de 20   m/s . Com que velocidade varia, 4 segundos após, a distância entre eles?

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Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de 1   c m / s   e o raio da base do cilindro cresce a uma taxa de 3   c m / s , com que razão está variando a área lateral do cilindro no momento em que o raio da esfera é 10   c m e o raio da base do cilindro é de 6   c m ?

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Dois navios a vapor estão navegando para longe de um ponto O em rotas que forma um ângulo de 120 º . O navio A desloca-se a 14 nós (milhas náuticas por hora). O navio B desloca-se a 21 nós. A que taxa os navios estão se afastando entre si, quando O A = 5 e O B = 3 milhas náuticas?

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Selecionado da Lista de Derivadas da Professora Renata - Cálculo 1 - UERJ

Um homem com 1,80   m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5   m/s . Se existe um ponto de luz no chão a 15   m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9   m do edifício?

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Um retângulo possui lados que variam com o tempo e está inscrito numa região triangular conforme a figura abaixo. Determine com que taxa a área do retângulo está variando no instante em que sua altura y   mede 36   c m e está aumentando à taxa de 0,5   c m / s . Neste instante a área está aumentando ou diminuindo?

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Um velocista corre em uma pista circular de raio 100   m . Seu amigo está parado a uma distância de 200   m do centro da pista. Em um certo instante, quando a distância entre eles é de 200   m , o velocista está se afastando do amigo a uma velocidades de 1 3 de volta por minuto. Quão rápido a distância entre os amigos está variando nesse momento?

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Uma roda gigante tem 10   m de raio e seu centro está a 11   m do solo. Ela gira no sentido anti-horário. Seja P um ponto fixado nessa roda. No instante t 0 em que P está a 16   m do solo, a distância de P ao solo varia a uma taxa de 30   m / m i n .

a ) A que taxa a roda está girando no instante t 0 ? (Ou seja, qual é a taxa de variação de θ em relação ao tempo no instante t 0 ?)

b ) Do ponto P parte um raio de luz que tangencia a circunferência e ilumina um ponto no solo. Qual é a taxa de variação da distância do ponto P ao ponto que ele ilumina no solo no instante t 0 ?

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Da janela de um prédio, a 20 metros do solo, um menino brinca com uma ponteira laser, movendo-a verticalmente e iluminando a parede do prédio vizinho, situado a uma distância de 15 metros. Num determinado instante, o ponto de luz está a uma altura de 11 metros e a velocidade com que ele sobe é de 10 metros por segundo. Determine a taxa de variação do ângulo formado entre a horizontal e o feixe de luz nesse instante.

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Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 10   m de diâmetro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto C e nadar (com velocidade constante) em linha reta até o ponto B (veja a figura).

Sabendo que ela pode caminhar 2 vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de α , as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo.

(Obs.: Considere que ela pode somente caminhar ou somente nadar.)

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(Enunciado adaptado em relação à prova original)

Considerando todos os trapézios regulares de área A = 10   u . a . e tendo os seus menores ângulos internos valendo θ = π 4 , calcule o menor valor possível de perímetro, nessas condições.

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No desenho, o ponto A representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio 5   m , com velocidade constante 0,1   m / s . Em cada instante, h é a distância de A até o diâmetro P Q .

Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância h no momento em que ela medir 4   m ?

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Uma cisterna de 10   m de largura, 20   m de comprimento, 1   m de profundidade nas extremidades e 3   m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados (veja a figura). Despeja-se água na cisterna a uma taxa de 0,3   m 3 / min . Seja h a altura do nível da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade (em metros por minuto) h estará subindo no instante em que h = 1 m ?

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Dois caminhos retilíneos paralelos distam de 5 metros . Os objetos A e B deslocam-se sobre os caminhos com velocidades v A t e v B t , respectivamente. Em um certo instante t 0 , a distancia d entre eles é de 13   m , A tem velocidade v A t 0 = 5   m / s e B tem velocidade v B t 0 = 2   m / s , conforme a figura. Determine d ' t 0 , a velocidade com que eles estão se aproximando.

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Dois lados de um triângulo têm comprimentos fixos, 4   m e 5   m , respectivamente. O ângulo entre estes lados está crescendo à taxa de 0 ,   06   r a d i a n o s / s e g u n d o . Encontre a taxa segundo à qual a área do triângulo está crescendo quando o ângulo entre os lado de comprimento fixo é π / 3 .

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O raio de luz de um farol, que está situado a 3   k m de uma praia reta, faz 8   r p m   (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de 45 ° com a linha da praia.

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Uma escada de 8   m está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2   m / s , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3   m da parede?

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Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P à 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 milhas do ponto P e se movendo à 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P .

a) Antes do ponto P a distância entre os aviões esta diminuindo? A que taxa?

b) Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos aviões mude a sua trajetória?

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Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de 0 ,   1   m ³ / s . O vértice está a 15   m do topo e o raio do topo é de 10   m . Com que velocidade o nível h da agua está subindo no instante em que h   =   5   m ?

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Uma câmara de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s   =   15 t ² , sendo s a altura e t o tempo. A câmara está a 600   m do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmara e a base do ônibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmara e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo t   =   0 ).

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Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3   m ³ / m i n , de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de 3   m .

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O sol está se pondo com ângulo de elevação (ângulo entre os raios e uma reta horizontal) que diminui a uma taxa de 0,25 radianos/hora. Com que velocidade estará crescendo a sombra de um prédio de 30 metros de altura quando o ângulo de elevação do sol for π / 6   ?

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Calcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando o raio do balão for igual a 5   c m .

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Considerando a função custo de determinada mercadoria é expressa por:

C x = 5 x 2 + 10 x + 3

Podemos afirmar que a função custo marginal será expressa por:

(a) C ' x = 10 x + 10

(b) C ' x = 5 x - 3

(c) C ' x = 15 x + 3

(d) C ' x = 10 x + 3

(e) C ' x = 5 x + 10

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Uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que, no final de t segundos, sua distância s em metros do ponto de partida é dada por s t = 3 t 2 + t . Indique a velocidade da partícula no instante em que t = 2 segundos:

(a) 12   m / s

(b) 19   m / s

(c) 14   m / s

(d) 13   m / s

(e) 16   m / s

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A área A de um quadrado está crescendo a uma taxa de 6   c m 2 por minuto. Quão rápido o tamanho do lado do quadrado cresce quando A = 9   c m 2 ?

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Considere a parábola y = x 2 .

I – Encontre a equação da reta tangente T à parábola no ponto P ( a , a 2 )

II – Expresse a área do triangulo ABC em função de a (ver figura).

III – Sabendo que o ponto P parte da origem e que a taxa de variação da abscissa é 4 c m / m i n , determine a taxa de variação da área do triângulo ABC, quando o ponto de tangência é P 3,9 .

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Considere o triângulo retângulo A B C , em que os catetos são A B   =   b   e A C   =   h . Assuma que b e h variam com o tempo t e satisfazem a seguinte relação:

b = 3 π + sen ⁡ h

Num determinado instante t 0 , tem-se h = π e a taxa de variação da área do triângulo A B C é igual a 10 π .

i ) Calcule a taxa de variação de h no instante t 0 .

i i ) Calcule a taxa de variação do ângulo A C B no instante t 0 .

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Uma escada de 8   m está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2   m / s , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3   m da parede?

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4 ) Uma barra, representada na figura pelo segmento A B , tem a extremidade A apoiada em uma plano inclinado e a extremidade B no chão conforme a figura. No instante t 0 a barra desliza de modo que o segmento A O mede 20 c m e diminui a uma taxa de variação de 10 c m / s. Sabendo que o segmento O B mede 40 c m no instante t 0 , determine a taxa de variação de O B neste instante.

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Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de 1   c m / s   e o raio da base do cilindro cresce a uma taxa de 3   c m / s , com que razão está variando a área lateral do cilindro no momento em que o raio da esfera é 10   c m e o raio da base do cilindro é de 6   c m ?

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Os lados de um retângulo encolhem de forma tal que a área do mesmo decresce a uma taxa constante de 24 c m 2 / s . Sabendo-se que, em qualquer instante, a base do retângulo x decresce três vezes mais rápido que sua altura y , calcule a taxa de variação da altura no instante em que x = y = 2 c m .

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