Lista de Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos
Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de e o raio da base do cilindro cresce a uma taxa de , com que razão está variando a área lateral do cilindro no momento em que o raio da esfera é e o raio da base do cilindro é de ?
No desenho, o ponto representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio , com velocidade constante . Em cada instante, é a distância de até o diâmetro .
Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância no momento em que ela medir ?
Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de . Quando o balão está a do solo, passa exatamente sob ele um automóvel viajando à velocidade de . Com que velocidade varia, segundos após, a distância entre eles?
Ver solução completaDois navios a vapor estão navegando para longe de um ponto em rotas que forma um ângulo de . O navio desloca-se a 14 nós (milhas náuticas por hora). O navio desloca-se a 21 nós. A que taxa os navios estão se afastando entre si, quando e milhas náuticas?
Ver solução completaUm retângulo possui lados que variam com o tempo e está inscrito numa região triangular conforme a figura abaixo. Determine com que taxa a área do retângulo está variando no instante em que sua altura mede e está aumentando à taxa de . Neste instante a área está aumentando ou diminuindo?
Selecionado da Lista de Derivadas da Professora Renata - Cálculo 1 - UERJ
Um homem com de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de . Se existe um ponto de luz no chão a do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a do edifício?
Ver solução completaPara ir de um ponto a um ponto diametralmente oposto de uma piscina circular de de diâmetro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto e nadar (com velocidade constante) em linha reta até o ponto (veja a figura).
Sabendo que ela pode caminhar vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de , as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo.
(Obs.: Considere que ela pode somente caminhar ou somente nadar.)
Uma roda gigante tem de raio e seu centro está a do solo. Ela gira no sentido anti-horário. Seja um ponto fixado nessa roda. No instante em que está a do solo, a distância de ao solo varia a uma taxa de .
A que taxa a roda está girando no instante ? (Ou seja, qual é a taxa de variação de em relação ao tempo no instante ?)
Do ponto parte um raio de luz que tangencia a circunferência e ilumina um ponto no solo. Qual é a taxa de variação da distância do ponto ao ponto que ele ilumina no solo no instante ?
Ver solução completaUm velocista corre em uma pista circular de raio . Seu amigo está parado a uma distância de do centro da pista. Em um certo instante, quando a distância entre eles é de , o velocista está se afastando do amigo a uma velocidades de de volta por minuto. Quão rápido a distância entre os amigos está variando nesse momento?
Ver solução completa(Enunciado adaptado em relação à prova original)
Considerando todos os trapézios regulares de área e tendo os seus menores ângulos internos valendo , calcule o menor valor possível de perímetro, nessas condições.
Ver solução completaDois caminhos retilíneos paralelos distam de metros . Os objetos e deslocam-se sobre os caminhos com velocidades e , respectivamente. Em um certo instante , a distancia entre eles é de , tem velocidade e tem velocidade , conforme a figura. Determine , a velocidade com que eles estão se aproximando.
Dois lados de um triângulo têm comprimentos fixos, e , respectivamente. O ângulo entre estes lados está crescendo à taxa de . Encontre a taxa segundo à qual a área do triângulo está crescendo quando o ângulo entre os lado de comprimento fixo é .
Ver solução completaO raio de luz de um farol, que está situado a de uma praia reta, faz (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de com a linha da praia.
Ver solução completaUma escada de está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a da parede?
Ver solução completaUma câmara de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação , sendo a altura e o tempo. A câmara está a do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmara e a base do ônibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmara e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo ).
Ver solução completaCascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de , de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de .
Ver solução completaEnche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de . O vértice está a do topo e o raio do topo é de . Com que velocidade o nível da agua está subindo no instante em que ?
Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto e se aproxima de à milhas por hora, enquanto o outro está a milhas do ponto e se movendo à milhas por hora, também em direção ao ponto .
a) Antes do ponto a distância entre os aviões esta diminuindo? A que taxa?
b) Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos aviões mude a sua trajetória?
Ver solução completaO sol está se pondo com ângulo de elevação (ângulo entre os raios e uma reta horizontal) que diminui a uma taxa de radianos/hora. Com que velocidade estará crescendo a sombra de um prédio de metros de altura quando o ângulo de elevação do sol for ?
Ver solução completaCalcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando o raio do balão for igual a .
Ver solução completaConsiderando a função custo de determinada mercadoria é expressa por:
Podemos afirmar que a função custo marginal será expressa por:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaUma partícula se move sobre uma linha reta de modo que, no final de segundos, sua distância em metros do ponto de partida é dada por . Indique a velocidade da partícula no instante em que segundos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaA área de um quadrado está crescendo a uma taxa de por minuto. Quão rápido o tamanho do lado do quadrado cresce quando ?
Ver solução completaConsidere a parábola .
I – Encontre a equação da reta tangente à parábola no ponto
II – Expresse a área do triangulo ABC em função de (ver figura).
III – Sabendo que o ponto parte da origem e que a taxa de variação da abscissa é , determine a taxa de variação da área do triângulo ABC, quando o ponto de tangência é .
Considere o triângulo retângulo , em que os catetos são e . Assuma que e variam com o tempo e satisfazem a seguinte relação:
Num determinado instante , tem-se e a taxa de variação da área do triângulo é igual a .
Calcule a taxa de variação de no instante .
Calcule a taxa de variação do ângulo no instante .
Ver solução completaUma escada de está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a da parede?
Ver solução completaDa janela de um prédio, a metros do solo, um menino brinca com uma ponteira laser, movendo-a verticalmente e iluminando a parede do prédio vizinho, situado a uma distância de metros. Num determinado instante, o ponto de luz está a uma altura de metros e a velocidade com que ele sobe é de metros por segundo. Determine a taxa de variação do ângulo formado entre a horizontal e o feixe de luz nesse instante.
Ver solução completaUma barra, representada na figura pelo segmento , tem a extremidade apoiada em uma plano inclinado e a extremidade no chão conforme a figura. No instante a barra desliza de modo que o segmento mede e diminui a uma taxa de variação de s. Sabendo que o segmento mede no instante , determine a taxa de variação de neste instante.
Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de e o raio da base do cilindro cresce a uma taxa de , com que razão está variando a área lateral do cilindro no momento em que o raio da esfera é e o raio da base do cilindro é de ?
Os lados de um retângulo encolhem de forma tal que a área do mesmo decresce a uma taxa constante de . Sabendo-se que, em qualquer instante, a base do retângulo decresce três vezes mais rápido que sua altura , calcule a taxa de variação da altura no instante em que .
Ver solução completaUma cisterna de de largura, de comprimento, de profundidade nas extremidades e no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados (veja a figura). Despeja-se água na cisterna a uma taxa de . Seja a altura do nível da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade (em metros por minuto) estará subindo no instante em que ?
No desenho, o ponto representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio , com velocidade constante . Em cada instante, é a distância de até o diâmetro .
Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância no momento em que ela medir ?