7. Seja a != 0 uma constante. Verifique que

∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a + k

Passo 1

Podemos perceber que essa integral se assemelha com a integral ∫ 1 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + k . Vamos tentar arrumar a integral que nós temos para que as duas fiquem iguais. Para isso, primeiro vamos tentar transformar o termo a 2 em 1. Logo, vamos dividir o numerador e o numerador por a 2 .

∫ 1 a 2 + x 2 d x =   ∫ 1 a 2 a 2 + x 2 a 2 d x =   ∫ 1 a 2 a 2 a 2 + x 2 a 2 d x =   1 a 2 ∫ 1 1 + x a 2 d x

Passo 2

Já está bem parecida. No entanto, para melhorar, vamos fazer u = x a   ⟹ d u = d x a . Assim,

1 a 2 ∫ 1 1 + x a 2 d x = 1 a ∫ 1 1 + x a 2 d x a = 1 a ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 a tan - 1 ⁡ u + k = 1 a tan - 1 ⁡ x a + k

Portanto, verificamos que

∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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