Seja z = e^(x^2 + y^2), x = rho \* cos(theta) e y = rho \* sen(theta) . Verifique que

∂z/∂ρ = e^(x^2 + y^2)(2x \* cos(theta) + 2y \* sen(theta))

Conclua que

∂z/∂ρ = ∂z/∂x \* cos(theta) + ∂z/∂y \* sen(theta)

Passo 1

Para fazermos ∂ z ∂ ρ precisamos transformar z numa função de ρ , para isso substituímos os valores, já dados, de x   e   y .

z = e [ ρ cos ⁡ θ 2 + ρ sin ⁡ θ 2 ] = e [ p 2 cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sin 2 ⁡ θ ] = e p 2 cos 2 ⁡ θ × e ρ 2 sin 2 ⁡ θ

Agora derivamos:

∂ z ∂ ρ = ∂ e p 2 cos 2 ⁡ θ × e ρ 2 sin 2 ⁡ θ ∂ ρ =

= 2 ρ cos 2 ⁡ θ e p 2 cos 2 ⁡ θ × e ρ 2 sin 2 ⁡ θ + 2 ρ sin 2 ⁡ θ e ρ 2 sin 2 ⁡ θ × e p 2 cos 2 ⁡ θ =

= e p 2 cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sin 2 ⁡ θ 2 ρ cos 2 ⁡ θ + 2 ρ sin 2 ⁡ θ

Passo 2

Se temos: x = ρ cos ⁡ θ → x 2 = ρ 2 cos 2 ⁡ θ   e   y = ρ sin ⁡ θ → y 2 = ρ 2 sin 2 ⁡ θ

Podemos reescrever a equação como sendo:

∂ z ∂ ρ = e p 2 cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sin 2 ⁡ θ 2 ρ cos ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 ρ sin ⁡ θ sin ⁡ θ = e x 2 + y 2 2 x cos ⁡ θ + 2 y sin ⁡ θ

Passo 3

Vamos calcular: ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y

∂ z ∂ x = ∂ e x 2 + y 2 ∂ x = 2 x e x 2 + y 2  

∂ z ∂ y = ∂ e x 2 + y 2 ∂ y = 2 y e x 2 + y 2

Agora se compararmos com:

∂ z ∂ ρ = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sin ⁡ θ

E substituirmos:

∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sin ⁡ θ = 2 x e x 2 + y 2 cos ⁡ θ + 2 y e x 2 + y 2 sin ⁡ θ = e x 2 + y 2 2 x cos ⁡ θ + 2 y sin ⁡ θ

Temos então que:

∂ z ∂ ρ = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sin ⁡ θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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