Enunciado

Seja f dada por x -> y , y >= 0 , onde x^2 + y^2 = 4

a ) Determine f ( x )

b ) Esboce o gráfico de f

Passo 1

Antes de tudo, vamos dar uma olhadinha pra cara dessa equação: x^2 + y^2 = 4 . Ela é do tipo:

(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2

Não é? E essa é a equação de uma circunferência na forma reduzida. Se você não se lembra, dá uma olhadinha na parte de circunferência da nossa plataforma =)

Aqui temos que o centro é dado por ( 0,0 ) e o raio é R = 2 . Como queremos a parte y >= 0 , queremos apenas a parte positiva da circunferência. Ok? Feita essa parte, vamos ao que interessa?

Primeiro vamos deixar y explicitamente em função de x . Como? Isolando y no lado esquerdo da equação x^2 + y^2 = 4 :

y^2 = 4 - x^2

y = +- sqrt(4 - x^2)

Saca só uma coisa aqui: temos duas opções para y , uma positiva e outra negativa. Mas e agora, qual escolher? Como queremos y >= 0 , então a equação correta é:

y = sqrt(4 - x^2)

Passo 2

Beleza! Determinado isso podemos ver que a função f ( x ) é a parte positiva de um círculo de raio 2 em torno da origem. Os pontos onde a função é zero são:

0 = sqrt(4 - x^2)

4 - x^2 = 0

x^2 = 4

x = +- 2

Então temos que (2,0) e ( - 2,0 ) são as raízes da equação.

E o ponto que afunção cruza o eixo y é com ( x = 0 ) :

y = sqrt(4 - 0^2) = 2

Então outro ponto pertencente ao gráfico é ( 0,2 ) .

Passo 3

Juntando os pontos que encontramos no passo 2 e sabendo que é a parte de cima de um círculo de raio 2 e centro na origem, podemos fazer o esboço do gráfico:

Resposta

(a) y = sqrt(4 - x^2)

( b )

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