Dê o domínio e esboce o gráfico.

j) f(x) = -1 / x^2

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão, vamos lá?

Essa função é do tipo função racional f x = p x q x . Se vocês não se lembrar dela, é só dar uma olhadinha no exemplo 3 do livro texto, ok?

O domínio de uma função racional do tipo f x = p x q x tem seu domínio dado por:

D o m f = x ∈ R q x ≠ 0 }

Ou seja, para nossa função q x = x 2 , temos que o domínio vai ser onde:

q x = x 2 ≠ 0   ∴ x ≠ 0

Assim o domínio pode ser escrito como:

D o m f = x ∈ R x ≠ 0 }

Passo 2

Mas e a cara dela? Essa função tem a mesma cara de uma hipérbole, no entanto, toda parte de cima, ou seja, positiva, passa a ser negativa, pois temos um - 1 multiplicando a função. É o mesmo formato encontrado no exercício anterior a esse, o 15 i , mas ao invés de ser todo na parte positiva de y , vai ser na parte negativa. Mas temos que fazer uma análise mais formal disso =)

Vamos ao esboço do gráfico?

Vamos primeiro entender o que acontece para x > 0 : à medida que x vai aumentando, y = - 1 / x 2 vai se aproximando de zero (por valores negativos), por exemplo:

  • x = 10 ; y = - 1 10 2 = - 1 100 = - 0,01
  • x = 100 ; y = - 1 100 2 = - 1 10000 = - 0,0001

E assim por diante. À medida que x vai se aproximando de zero, y vai aumentando, saca só:

  • x = 1 5 ; y = - 1 1 5 2 = - 25
  • x = 1 20 ; y = - 1 1 20 2 = - 400

E assim por diante. E esse comportamento se repete ( sempre fornecendo valores negativos de y ) quando olharmos para valores de x < 0 .

Passo 3

Para esboçar melhor o gráfico, vou escolher quatro valores de x (dois positivos e dois negativos) e calcular cada respectivo valor de y :

Então os pontos que pertencem ao gráfico são: - 2 , -   1 / 4 ; - 1 , - 1 ; ( 1 , - 1 ) e ( 2 , - 1 / 4 ) . Agora sabendo desses pontos e do comportamento geral da função (descrevemos ali no passo anterior) podemos esboçar o gráfico:

Resposta

D o m f = x ∈ R x ≠ 0 }

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