Seja uma função ímpar, contínua, de classe por partes e tal que .
Prove que, para todo ,
E que a convergência é uniforme neste intervalo, onde
Com
Passo 1
Primeiro de tudo vamos introduzir a fórmula de Fourier,
Onde, .
E são os coeficientes da série e possuem uma forma especifica de calcular.
Vamos começar com
È muito importante que você se lembre da propriedade que diz:
Ela pode te poupar bastante tempo.
Como o enunciado diz que é uma função ímpar:
Passo 2
Agora, vamos encontrar
Outra sacada que pode te dar um tempo a mais nas provas, é que o produto de uma função ímpar por uma função par, resulta em outra função ímpar.
Sabendo que é ímpar e a função cosseno é par, teremos que .
E então:
Portanto,
Passo 3
Agora só nos resta
Dessa vez temos o produto de duas funções ímpares, que resulta em uma função par.
Então:
Concluimos que a função será dada por:
Onde
Como é ímpar e da definição de uma função ímpar sabemos que:
Teremos então:
Note que temos uma função , contínua, de classe por partes e com ; que são condições suficientes para que uma Série de Fourier convirja uniformemente.
Resposta
Concluímos que, seja uma função ímpar, contínua, de classe por partes e tal que então ela pode ser dada por:
Com
Para