Seja f : - π , π → R uma função ímpar, contínua, de classe C 2 por partes e tal que f π = 0 .

Prove que, para todo x   e m   [ - π , π ] ,

f x = ∑ n = 1 + ∞ b n sin ⁡ n x

E que a convergência é uniforme neste intervalo, onde

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n x d x

Com n ≥ 1 .

Passo 1

Primeiro de tudo vamos introduzir a fórmula de Fourier,

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x l + ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n π x l

Onde, - π ≤ l ≤ π .

E a 0 ,   a n     e     b n são os coeficientes da série e possuem uma forma especifica de calcular.

Vamos começar com a 0 :

a 0 = 1 l ∫ - l l f ( x ) d x

È muito importante que você se lembre da propriedade que diz:

∫ - a a f í m p a r = 0

Ela pode te poupar bastante tempo.

Como o enunciado diz que f ( x ) é uma função ímpar:

a 0 = 1 π ∫ - π π f ( x ) d x = 0

Passo 2

Agora, vamos encontrar a n :

a n = 1 l ∫ - l l f x cos ⁡ n π x l d x

Outra sacada que pode te dar um tempo a mais nas provas, é que o produto de uma função ímpar por uma função par, resulta em outra função ímpar.

Sabendo que f ( x ) é ímpar e a função cosseno é par, teremos que f x cos ⁡ n π x l = f u n ç ã o   í m p a r .

E então:

∫ - l l f x cos ⁡ n π x l d x = 0

Portanto,

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x = 0

Passo 3

Agora só nos resta b n :

b n = 1 l ∫ - l l f ( x ) sin ⁡ n π x l d x  

Dessa vez temos o produto de duas funções ímpares, que resulta em uma função par.

Então:

b n = 1 π ∫ - π π f ( x ) sin ⁡ n x d x

Concluimos que a função f   será dada por:

f x = ∑ n = 1 + ∞ b n sin ⁡ n x

Onde

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n x d x   c o m   n ≥ 1

Como f   é ímpar e da definição de uma função ímpar sabemos que:

f - x = - f ( x )

Teremos então:

f - π = f π = 0

Note que temos uma função f : [ - π ; π ] , contínua, de classe C 2 por partes e com f - π = f π ; que são condições suficientes para que uma Série de Fourier convirja uniformemente.

Resposta

Concluímos que, seja f : - π , π → R uma função ímpar, contínua, de classe C 2 por partes e tal que f π = f - π = 0 então ela pode ser dada por:

f x = ∑ n = 1 + ∞ b n sin ⁡ n x

Com

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n x d x

Para n ≥ 1 .

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