Seja f definida R . Suponha que lim x → 0 ⁡ f x x = 1 . Calcule

lim x → 0 ⁡ f 3 x x

Passo 1

Se supormos que existam funções g u e u = f x , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F x = g u onde u = f x , x ∈ D f , lim x → p ⁡ f x = a ( u → a para x → p )

e que lim u → a ⁡ g u exista. Então:

lim x → p ⁡ F x = lim u → a ⁡ g u

Então vamos mexer nessa função para encontrar quem é u .

Passo 2

Vamos fazer manipulações então, vamos multiplicar e dividir a expressão por 3 :

lim x → 0 ⁡ f 3 x x = lim x → 0 ⁡ 3 ∙ f 3 x 3 ∙ x = 3 lim x → 0 ⁡ f 3 x 3 x

Repara que agora o termo que está dentro de f é igual ao denominador, como no enunciado.

Agora vamos fazer uma mudança de variável:

u = 3 x

Temos então que u → 0 para x → 0 :

3 lim x → 0 ⁡ f 3 x 3 x = 3 lim u → 0 ⁡ f u u = 3 ∙ 1 = 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ f 3 x x = 3

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