Enunciado

Seja

f x = 2 - x ,     s e   x ≤ 1 x 2 - 2 x + 2   ,     s e     x > 1

f é derivável em 1 ? Esboce os gráficos de f e f '

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Foi dada a função f ( x ) definida por

f x =   2 - x   ,       s e     x ≤ 1 x 2 - 2 x + 2   ,       s e     x > 1

e queremos saber se f é derivável em 1.

Vejamos, para que uma f seja derivável em um ponto dado com x = 1 , ela deverá ser contínua num intervalo que contenha esse ponto. E podemos ver isso se ela atender a condição abaixo:

f 1 = lim x → 1 ⁡ f ( x )

Ou seja, o limite da função quando x tende ao ponto dado deve ser igual ao valor da função neste mesmo ponto.

Então é isso que faremos, vamos calcular esse limite e ver se ele é igual ao valor da função em x = 1 .

Partiu!!!

Passo 2

Primeiro vamos calcular:

lim x → 1 ⁡ f ( x )

Mas para que esse limite exista, precisamos que

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) =   lim x → 1 - ⁡ f ( x )

Ou seja, os limites laterais precisam existe e serem iguais.

Perceba que para valores à esquerda de x , isto é, x < 1 , a função assume a forma

f x = 2 - x

e para valores à direita de x , a função tem a forma

f x = x 2 - 2 x + 2

Há uma forma de ver essa existência usando a definição de derivada com o limite sendo calculado tanto à esquerda quanto à direita de x = 1 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Seja f + ' ( 1 ) a derivada de f ( x ) com x tendendo a 1 pela direita ( x →   1 + )

f + ' 1 =   lim h → 0 + ⁡ f 1 + h - f 1 h  

f + ' 1 = lim h → 0 + ⁡ 1 + h 2 - 2 1 + h + 2 - 1 h

f + ' 1 = lim h → 0 + ⁡ h 2 h

f + ' 1 =   lim h → 0 + ⁡ h = 0

O limite foi calculado com h tendendo pela direita de zero, mas é o mesmo efeito de x tendendo pela direita de 1 .

Seja f - ' ( 1 ) a derivada de f ( x ) com x tendendo a 1 pela esquerda ( x →   1 - )

f - ' 1 =   lim h → 0 - ⁡ f 1 + h - f 1 h

f - ' 1 = lim h → 0 - ⁡ 2 - 1 + h - 1 h

f - ' 1 =   lim h → 0 - ⁡ - h h

f - ' 1 =   lim h → 0 - ⁡ - 1 =   - 1

O limite foi calculado com h tendendo pela esquerda de zero, mas é o mesmo efeito de x tendendo pela esquerda de 1 . Assim, f ' ( 1 ) não existe , pois f + ' 1   ≠     f - ' 1 . Desta forma, f não é derivável em 1.

Show?

Passo 4

Agora vamos plotar os gráficos para ver melhor isso acontecendo:

f ' x = - 1 para x < 1

e

f ' x = 2 x - 2 para x > 1

Gráficos de f e f ' :

Podemos perceber a descontinuidade da deivada no gráfico a direita.

E aí! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f não é derivável em 1

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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