Enunciado

Seja f derivável até a 2 ª ordem em R e tal que, para todo x , x   f ' ' x + f ' x = 4 .

a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0

b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal

Passo 1

a) Se x ≠ 0 , teremos:

x   f ' ' x + f ' x = 4

f ' ' x = 4 - f ' x x

Como f é derivável, temos f ' contínua. Já que a subtração e divisão de funções contínuas é contínua, temos que f ' ' x = 4 - f ' x x é contínua.

Logo, f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 .

Passo 2

b) Vamos supor, por contradição, que existe p ∈ R tal que p é ponto de inflexão horizontal de f , e substituí-lo na equação do enunciado:

x   f ' ' x + f ' x = 4

p   f ' ' p + f ' p = 4

Lembre-se de que, para p ser ponto de inflexão, devemos ter f ' ' p = 0 . Além disso, como p é um ponto de inflexão horizontal, f ' p = 0 . Então a equação ficará assim:

p   .   0 + 0 = 4

0 = 4

Contradição! Logo, f não pode ter ponto de inflexão horizontal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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64) A caneca mostrada na figura está sendo enchida com café a uma taxa constante (medida em volume por unidade de tempo). Esboce um gráfico da profundidade do café na caneca como uma função do tempo.
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p = 0 , então diremos que p é ponto de inflexão horizontal de f . Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão horizontal de f .
Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , a ≠ 0 . Prove que f admite um único ponto de inflexão.
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p ≠ 0 , então diremos que p é ponto de inflexão oblíquo de f . Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão oblíquo de f .
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se