Enunciado

Suponha que f^(' ') (x) > 0 em ]a , + oo[ e que existe x_0 > a tal que f^' (x_0) > 0 . Prove que underset(x -> + oo)(lim) f (x) = + oo

Passo 1

Pra provar isso, vamos considerar a função g (x) , cujo gráfico é a reta tangente y = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) ao gráfico de f (x) em x = x_0 .

Como o gráfico de f tem concavidade para cima em ]a , + oo[ , teremos:

f (x) > g (x) se x > a

Assim, se provarmos que g (x) -> oo quando x -> oo , automaticamente teremos provado que f (x) -> oo , por comparação.

Passo 2

Então, vamos calcular o limite:

underset(x -> oo)(lim) g (x) = underset(x -> oo)(lim) [f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0)]

Perceba que o limite vai para + oo ou - oo , dependendendo apenas do sinal da constante que está multiplicando x , ou seja, o sinal de f^' (x_0) . Porém, temos como hipótese que f^' (x_0) > 0 , logo:

underset(x -> oo)(lim) g (x) = + oo

Portanto,

underset(x -> oo)(lim) f (x) = + oo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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