Suponha que f''(x) > 0 em ]a, +infinito[ e que existe x_0 > a tal que f'(x_0) > 0 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Passo 1

Pra provar isso, vamos considerar a função g x , cujo gráfico é a reta tangente y = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 ao gráfico de f x em x = x 0 .

Como o gráfico de f tem concavidade para cima em a ,   + ∞ , teremos:

f x > g x se x > a

Assim, se provarmos que g x → ∞ quando x → ∞ , automaticamente teremos provado que f x → ∞ , por comparação.

Passo 2

Então, vamos calcular o limite:

lim x → ∞ ⁡ g x = lim x → ∞ ⁡ f x 0 + f ' x 0 x - x 0

Perceba que o limite vai para + ∞ ou - ∞ , dependendendo apenas do sinal da constante que está multiplicando x , ou seja, o sinal de f ' x 0 . Porém, temos como hipótese que f ' x 0 > 0 , logo:

lim x → ∞ ⁡ g x = + ∞

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ f x = + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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