Enunciado

Seja f : R → R , derivável e tal que para todo x , f ' x = α   f x , α constante não nula. Prove que existe uma constante k , tal que, para todo x , f x = k   e α x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que dada uma função f x = k   e α x , com k constante, quando a derivamos, chegamos a forma:

f ' x = α   f x

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa f ( x ) , usando a regra da cadeia (que é derivada da função de fora vezes a função de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro) e verificar se o resultado satisfaz essa igualdade.

Vamos lá!

Passo 2

Então temos que derivar:

f x = k e α x

Como k é uma constante, podemos escrever assim:

f ' x = k ∙ e α x '

Para derivar o que está dentro dos parênteses usamos a regra da cadeia (como vimos no passo 1 – repare que a função de dentro é o expoente nesse caso):

f ' x = k ∙ α e α x

Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos escrever assim:

f ' x = α k e α x

Mas k e α x é a nossa f ( x ) . Então, temos:

f ' x = α   f x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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