Enunciado

Seja f derivável em todo valor de x , e suponha que f ( 1 )   =   1 , que f   '   <   0 em ( - ∞ ,   1 ) e que f   '   >   0 em ( 1 ,   ∞ ) .

A. Mostre que f x ≥   1 para todo x .

B. f ' 1 = 0 , necessariamente? Explique.

Passo 1

Primeiramente queremos mostrar que f x ≥ 1 para qualquer valor de x que usarmos, dadas as condições do enunciado. Depois precisamos verificar se f ' 1 = 0 necessariamente.

Passo 2

Começando pela letra a vamos supor x < 1 e aplicaremos o teorema do valor médio que nos diz que existe um ponto c dentro de um intervalo tal que f b - f a b - a = f ' ( c ) . Dessa forma, teremos

f x - f 1 x - 1 = f ' c < 0

Isso implica que f x > f ( 1 ) , pois f ' < 0 em - ∞ ,   1 pelo enunciado.

Agora, se considerarmos x > 1 pelo teorema do valor médio vamos ter

f x - f 1 x - 1 = f ' c > 0

Isso implica que f x > f ( 1 ) , pois f ' > 0 em ( 1 ,   ∞ ) pelo enunciado. Como f 1 = 1 , podemos concluir que f x ≥ 1 desde que f 1 = 1

Passo 3

Para a responder a letra b utilizaremos o fato constatado na letra a que nos mostra que l i m x → 1 - f x - f 1 x - 1 ≤ 0 e l i m x → 1 + f x - f 1 x - 1 ≥ 0 , pelo teorema da unicidade do limite sabemos que o valor desse limite deve ser único, então, para satisfazer os 2 limites ao mesmo tempo devemos ter f ' x = 0 , então, necessariamente f ' 1 = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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