Enunciado

Esboce o gráfico da função racional:

y = (x - 1)/(x^2 ( x - 2 ))

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 0 , 2 } (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda pela regra do quociente:

y^' = (1 (x^3 - 2 x^2) - (3 x^2 - 4 x) (x - 1))/((x^3 - 2 x^2)^2) = (- 2 x^3 + 5 x^2 - 4 x)/((x^3 - 2 x^2)^2)

y^(' ') = ((- 6 x^2 + 10 x - 4) (x^3 - 2 x^2)^2 - 2 (x^3 - 2 x^2) (3 x^2 - 4 x) (2 x^3 + 5 x^2 - 4 x))/((x^3 - 2 x^2)^4)

((x^3 - 2 x^2) (- 6 x^2 + 10 x - 4) (x^3 - 2 x^2) - 2 (3 x^2 - 4 x) (2 x^3 + 5 x^2 - 4 x))/((x^3 - 2 x^2)^4) = (- 6 x^5 - 24 x^4 + 40 x^3 - 24 x^2)/((x^2 - 2 x^2)^3)

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y^' = (- 2 x^3 + 5 x^2 - 4 x)/((x^3 - 2 x^2)^2) = 0

Observe que a função do numerador pode ser escrita como: x ( - 2 x^2 + 5 x - 4 )

E essa função só resulta em zero se x = 0 , pois - 2 x^2 + 5 x - 4 não possui raiz real.

Então, nosso único ponto crítico é em x = 0 , porém ele não pertence ao domínio da função, não podendo ser extremo absoluto ou relativo.

Veja que a função não está definida para x = 0 e x = 2 , mas está definida em todos os pontos próximos a esses. Com isso, temos assíntotas verticais em x = 0 e x = 2 .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Vamos usar os intervalos em x encontrados no passo anterior:

Então, a função é crescente em ( - oo , 0 ) e decrescente em (0,2) e ( 2 , oo ) .

Veja que a função corta o eixo x em x = 1 , então temos o ponto ( 1,0 ) . E como a função deve continuar decrescente de ( 0,2 ) , quando chega em x = 1 a função muda a concavidade.

Então a concavidade é para cima em (- oo , 0) ( 0,1 ) e ( 2 , oo ) e para baixo em ( 1,2 ) .

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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