Esboce o gráfico da função racional:

y = (x - 1) / (x^2 \* (x - 2))

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 0 ,   2 } (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda pela regra do quociente:

y ' = 1 x 3 - 2 x 2 - 3 x 2 - 4 x x - 1 x 3 - 2 x 2 2 = - 2 x 3 + 5 x 2 - 4 x x 3 - 2 x 2 2

y ' ' = - 6 x 2 + 10 x - 4 x 3 - 2 x 2 2 - 2   x 3 - 2 x 2 3 x 2 - 4 x 2 x 3 + 5 x 2 - 4 x x 3 - 2 x 2 4

x 3 - 2 x 2 - 6 x 2 + 10 x - 4 x 3 - 2 x 2 - 2 3 x 2 - 4 x 2 x 3 + 5 x 2 - 4 x x 3 - 2 x 2 4 = - 6 x 5 - 24 x 4 + 40 x 3 - 24 x 2 x 2 - 2 x 2 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   - 2 x 3 + 5 x 2 - 4 x x 3 - 2 x 2 2 = 0

Observe que a função do numerador pode ser escrita como: x ( - 2 x 2 + 5 x - 4 )

E essa função só resulta em zero se x = 0 , pois - 2 x 2 + 5 x - 4 não possui raiz real.

Então, nosso único ponto crítico é em x = 0 , porém ele não pertence ao domínio da função, não podendo ser extremo absoluto ou relativo.

Veja que a função não está definida para x = 0 e x = 2 , mas está definida em todos os pontos próximos a esses. Com isso, temos assíntotas verticais em x = 0   e   x = 2 .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Vamos usar os intervalos em x encontrados no passo anterior:

Então, a função é crescente em ( - ∞ , 0 ) e decrescente em 0,2   e   ( 2 ,   ∞ ) .

Veja que a função corta o eixo x em x = 1 , então temos o ponto ( 1,0 ) . E como a função deve continuar decrescente de ( 0,2 ) , quando chega em x = 1 a função muda a concavidade.

Então a concavidade é para cima em - ∞ ,   0   ( 0,1 ) e ( 2 ,   ∞ ) e para baixo em ( 1,2 ) .

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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