Enunciado

O Exercício fornece a aceleração a = d 2 s d t 2   , a velocidade inicial e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o caso: a = e t ,   v 0 = 20   ,   s 0 = 5 .

Passo 1

Queremos encontrar a função s ( t ) a partir da análise da função a ( t ) que, como o enunciado nos mostrou, é a sua segunda derivada. Assim, utilizaremos as regras de derivação no sentido inverso para encontrarmos, primeiramente a aceleração que é a primeira derivada e aplicando essa mesma estratégia uma segunda vez obtemos a função s ( t ) que é a solução do nosso problema.

Passo 2

A função em análise é uma função especial, devido ao fato da derivada de e t ser igual a ela mesma. Assim, podemos supor uma função g t = e t que terá derivada igual a a t = s " ( t ) .

Passo 3

Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que f ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

v t = s ' ( t ) = g t + C

s ' t = e t + C

Aplicando a condição inicial que diz que v 0 = 20 , temos:

s ' 0 = e 0 + C

20 = 1 + C

C = 20 - 1 = 19

Assim, encontramos uma expressão para v ( t )   =   s ’ ( t )   =   e t   +   19 . Utilizando mais uma vez esse raciocínio vamos encontrar, então, a nossa função desejada que é s t .

Passo 4

Como a nossa função v ( t ) tem a forma v   =   e t + 19 podemos imaginar que como o expoente da variável t que acompanha o 19 é 0 , na função antes de derivamos tínhamos um t devido a regra da derivação de polinômio se f x = x n → f ' x = n * x n - 1

e como o e t tem como derivada ela mesma podemos encontrar uma função que tenha derivada igual s ' ( t ) .

Passo 5

Sendo assim podemos pensar em uma função g t = e t + 19 t que possui derivada igual a da nossa função da velocidade e aplicarmos o resultado do corolário da seguinte forma:

s t = g t + C

s t = e t + 19 t + C

Aplicando a segunda condição inicial s 0 = 5 temos:

s 0 = e 0 + 19 * 0 + C

5 = 1 +   0 + C

C = 5 - 1 = 4

Portanto, nossa função s ( t ) para um determinado tempo t   qualquer é: s t = e t + 19 t + 4

Resposta

s t = e t + 19 t + 4

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