Enunciado

Seja f x = a x 2 + b x + c , com a > 0 . Encontre f - 1 se o domínio de f for restrito a

a )   x ≥ - b 2 a

b )   x ≤ - b 2 a

Passo 1

Fala povo, tudo certo? A questão vai pedir pra gente inverter:

y = a x 2 + b x + c

Como toda vez que a gente inverte a gente isola x e escreve ele como uma função de y , fica complicado fazer isso com o x aparecendo duas vezes do lado direito, né não? Agora, se tivéssemos algo do tipo:

y = m x + n 2 - o

Ficaria mais tranquilo, não? Afinal, agora o x só apareceu uma única vez. Vamos tentar reescrever a função original nesse formato então, bora? Abrindo o quadrado da equação acima, temos:

y = m 2 x 2 + 2 m n x + n 2 - o

E comparando com:

y = a x 2 + b x + c

Chegamos à conclusão que os coeficientes são iguais a:

m 2 = a 2 m n = b n 2 - o = c

Da primeira linha, temos que:

m = a

Com esse resultado e a segunda linha, tiramos:

2 a n = b

n = b 2 a

E desse resultado com a terceira linha, temos que:

b 2 a 2 - o = c

o = b 2 4 a - c

Juntando tudo, temos:

y = m x + n 2 - o = a   x + b 2 a 2 - b 2 4 a - c

y = a   x + b 2 a 2 - b 2 4 a + c

E pode confiar que se abrirmos esse quadrado ai, vamos achar exatamente:

y = a x 2 + b x + c

Passo 2

Show de bola, com

y = a   x + b 2 a 2 - b 2 4 a + c

Conseguimos isolar x . Passando o termo fora do quadrado pro lado esquerdo, temos:

y + b 2 4 a - c = a   x + b 2 a 2

E fazendo raiz quadrada dos dois lados, achamos:

a   x + b 2 a = ± y + b 2 4 a - c

Vamos deixar esse ± ai por enquanto, ok? Belê, agora passamos b 2 a pro lado direito e dividimos todo mundo depois por a :

a   x = ± y + b 2 4 a - c - b 2 a

  x = ± y + b 2 4 a - c a - b 2 a a

x = ± y a + b 2 4 a 2 - c a - b 2 a

x = ± 4 a y 4 a 2 + b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 - b 2 a

x = ± 1 4 a 2 4 a y + b 2 - 4 a c - b 2 a

x = ± 1 2 a 4 a y + b 2 - 4 a c - b 2 a

x = - b ± b 2 - 4 a c - y 2 a

E olha só que loucura, a gente meio que montou a fórmula de Bháskara! Como a gente usa ela pra achar as raízes de um polinômio do segundo grau, a expressão acima sempre terá y = 0 quando queremos usar pra esse propósito, ficando igualzinho! Mas não é exatamente isso que queremos né? Hahaha

Passo 3

Bem galera, nos deparemos com:

x = - b ± b 2 - 4 a c - y 2 a

Pra fechar a inversão da função, precisamos de duas coisas:

  • Coisa 1: Saber qual sinal ± usar em cada caso a , b do enunciado
  • Coisa 2: Para cada caso do enunciado, saber qual o intervalo de y que x = f y está definido

Bem, nosso enunciado era para, pra letra a :

x ≥ - b 2 a

Então bora lá! Usando a inequação acima e a expressão de x = f y que achamos, temos:

x ≥ - b 2 a

- b ± b 2 - 4 a c - y 2 a ≥ - b 2 a

- b 2 a ± b 2 - 4 a c - y 2 a ≥ - b 2 a

± b 2 - 4 a c - y 2 a ≥ 0

Como o enunciado nos disse que a > 0 , temos, ao multiplicar os dois lados por 2 a , que:

± b 2 - 4 a c - y ≥ 0

Se a < 0 , tínhamos que trocar por , então bastante cuidado sempre nas inequações, ok? Oras, como o resultado da raiz deve ser sempre positivo, vamos ter que escolher entre ± o valor positivo pra isso ser possível! E ainda, do interior da raiz, podemos tirar:

b 2 - 4 a c - y ≥ 0

4 a c - y ≤ b 2

c - y ≤ b 2 4 a

y ≥ c - b 2 4 a

Ta na mão então! Nossa expressão x = f y se torna:

x = - b + b 2 - 4 a c - y 2 a ,     y ≥ c - b 2 4 a ,     a > 0

Trocando x , y de lugar, achamos finalmente nossa inversa:

y = - b + b 2 - 4 a c - x 2 a ,     x ≥ c - b 2 4 a ,     a > 0

Por fim:

f - 1 x = - b + b 2 - 4 a c - x 2 a ,     x ≥ c - b 2 4 a ,     a > 0

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa agora só que pra letra b onde tínhamos:

x ≤ - b 2 a

Então bora lá! Usando a inequação acima e a expressão de x = f y que achamos, temos:

x ≤ - b 2 a

- b ± b 2 - 4 a c - y 2 a ≤ - b 2 a

- b 2 a ± b 2 - 4 a c - y 2 a ≤ - b 2 a

± b 2 - 4 a c - y 2 a ≤ 0

Como o enunciado nos disse que a > 0 , temos, ao multiplicar os dois lados por 2 a , que:

± b 2 - 4 a c - y ≤ 0

Como o resultado da raiz deve ser sempre positivo, vamos ter que escolher entre ± o valor negativo pra dar certo! E ainda, do interior da raiz, podemos tirar:

b 2 - 4 a c - y ≥ 0

4 a c - y ≤ b 2

c - y ≤ b 2 4 a

y ≥ c - b 2 4 a

Ta na mão então! Nossa expressão x = f y se torna:

x = - b - b 2 - 4 a c - y 2 a ,     y ≥ c - b 2 4 a ,     a > 0

Trocando x , y de lugar, achamos finalmente nossa inversa:

y = - b - b 2 - 4 a c - x 2 a ,     x ≥ c - b 2 4 a ,     a > 0

Por fim:

f - 1 x = - b - b 2 - 4 a c - x 2 a ,     x ≥ c - b 2 4 a ,     a > 0

Resposta

Seja f x = a x 2 + b x + c , com a > 0 , para os domínios originais de f x :

a )   x ≥ - b 2 a

b )   x ≤ - b 2 a

As inversas serão:

a )   f - 1 x = - b + b 2 - 4 a c - x 2 a ,     x ≥ c - b 2 4 a

b )   f - 1 x = - b - b 2 - 4 a c - x 2 a ,     x ≥ c - b 2 4 a

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