Enunciado

Seja

f x = 4 - x 2 ,   s e   x ≤ 2 x - 1 ,   s e   x > 2

  1. Encontre lim x → 2 - ⁡ f ( x ) e lim x → 2 + ⁡ f ( x ) .
  2. Existe lim x → 2 ⁡ f ( x ) ?
  3. Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Olá, meu querido estudante. Pronto para mais uma resolução?

Então, vamos aqui responder 3 pequenas questões sobre a função dada.

Iremos encontrar os limites laterais da função dada quando nos aproximamos de 2 . Iremos responder se o limite de lim x → 2 ⁡ f ( x )   e por último iremos esboçar o gráfico da função.

Para encontrarmos o limite lateral da função deveremos prestar atenção em qual das duas equações deveremos utilizar quando formos ao encontro de 2 pela direita ou pela esquerda.

Para que lim x → 2 ⁡ f ( x ) exista, os limites laterais que iremos calcular na letra a) devem ser iguais, caso sejam diferentes o limite de f ( x ) para x → 2 não existe.

O gráfico da função iremos fazer juntos utilizando o GeoGebra, mas irei te explicar como você pode fazer na mão e em quais pontos você deve prestar atenção.

Passo 2

  1. Para calcularmos o limite lateral deveremos prestar atenção em quais equações representam a função quando formos pelo lado direito, para valores infinitesimalmente maiores que 2 .
  2. Nesses casos, temos que

    lim x → 2 + ⁡ x - 1

    lim x → 2 + ⁡ 2 - 1 = 1

    Para calcularmos o limite lateral deveremos prestar atenção em quais equações representam a função quando formos pelo lado direito, para valores infinitesimalmente menores que 2 .

    Nesses casos, temos que

    lim x → 2 - ⁡ 4 - x 2

    lim x → 2 - ⁡ 4 - 4 = 0

    Passo 3

  3. Veja que os limites laterais da função no ponto de limite analisado são diferentes, sendo assim o limite
  4. lim x → 2 ⁡ f x

    Não existe.

  5. Vamos agora para a construção do gráfico. Para construir esse gráfico, devemos nos atentar ao ponto de inflexão, o ponto onde as equações que regem nossa função se juntam. Veja que 4 - x 2 é um ponto onde x pode ser igual a 2 . Sendo assim, na representação gráfica este local deve possuir um círculo fechado, indicando isso, diferente de x - 1 que deve possuir um círculo aberto.

Primeiro vamos então inserir 4 - x 2 no gráfico, isso para valores x ≤ 2 . Temos aqui uma parábola, com o termo b = 0 , sendo assim o eixo y corta o vértice da parábola. Por possuir o coeficiente a < 0 sua parábola é virada para baixo.

Agora vamos inserir x - 1 . Temos aqui uma reta, por termos a > 0 ela é crescente e corta o eixo y em y = - 1 .

Resposta

  1. lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = 1

    lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = 0

  2. Não existe
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