Sejam a_n e b_n duas sequencias tais que, para todo natural n , |a_n - b_n| ≤ 5 * e^(-n) . Suponha que a_n converge para o número real a . Prove que b_n converge para a

Passo 1

As sequencias a n e b n podem ser representadas para todo natural n como

a n - b n ≤ 5 e - n

Ou ainda

- 5 e n ≤ a n - b n ≤ 5 e n

Passo 2

Aplicando o limite as restrições

l i m n → + ∞ - 5 e n = 0  

E

l i m n → + ∞ 5 e n = 0  

Logo o limite da subtração entre as sequencias

l i m n → + ∞ a n - b n = 0  

Passo 3

Sabendo que l i m n → + ∞ a n = a  

Para chegarmos a conclusão que

l i m n → + ∞ b n = a

Basta vermos que b n pode ser encontrado por

b n = b n - a n + a n

Resposta

l i m n → + ∞ b n = a

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