Enunciado

Seja y = f ( x ) uma função derivável até a 2ª. Ordem no intervalo aberto I, tal que para todo x ∈ I

f ' ' x + x f ' x - f x 2 = 0

f x ≠     0

  1. Verifique que f’’ é continua em I
  2. Prove que a função f não dimite ponto máximo local em I

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Aqui temos uma função derivável em segunda ordem e temos que mostrar que esta função é continua em I e provar que não adimite máximo local em I .

Passo 2

  1. Para verificar que f ’ ’ ( x ) é continua em I primeiro temos que saber se o lim x → a ⁡ f ' ' ( x ) pertence a I existe.

Como,

x + x f ' x - f x 2 = 0

Temos que,

f ' ' x = - x f ' x + f x 2

Calculando o limite,

lim x → a ⁡ f ' ' x = - lim x → a ⁡ x f ' x + lim x → a ⁡ f x 2 = - a f ' a + f a 2

Além disso, o enunciando forneceu que f x ≠ 0 . Logo o limite existe e é diferente de zero.

Passo 3

b) Para provar que f não admite ponto máximo local temos que usar o teorema 1 .

Portanto se ele tiver um ponto de máximo f ’ ( p ) = 0 , tem que existir para um ponto p   pertencente a um intervalo I . Com isso, temos que

lim x → p + ⁡ f x - f p x - p         e       lim x → p - ⁡ f x - f p x - p    

Pela definição de derivada temos,

f ' p = lim x → p + ⁡ f x - f p x - p

Aplicando L’Hospital temos

f ' p = lim x → p + ⁡ f ' x 1

Como

f ' x = f 2 x - f ' ' x x

f ' p = l i m x → p + f 2 x - f ' ' x x = 0

Logo

l i m x → p + f ' ' x = f ' ' p = f x 2

Para se ter um ponto máximo local f ’ ’ p < 0 . Porém pela equação encontrada não é possível a segunda derivada ser negativa, pois qualquer valor elevado ao quadrado é positivo. Logo, não existe máximo local.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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