Enunciado

Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

h) f x = t g h   x ,   - 2 ,   2  

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = t g h   x

f ' x = s e c 2 h   x

Aqui vale ressaltar que como são funções hiperbólicas, elas são definidas como:

t g h   x = e x - e - x e x + e - x

s e c 2 h   x = 4 e x + e - x 2

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, temos que:

f ' x = 4 e x + e - x 2 > 0

Independentemente do valor atribuído a x , o valor da derivada SEMPRE será positivo, uma vez que o denominador é quadrático! Sendo assim, a função é sempre crescente. Como não há pontos críticos e como a nossa função tem intervalo estabelecido em - 2 ,   2 , vamos substituir esses valores na nossa função para determinar os máximos e mínimos, se liga:

f - 2 = e - 2 - e 2 e - 2 + e 2 ≈ - 0,964

f 2 = e 2 - e - 2 e 2 + e - 2 ≈ 0,964

Portanto, pelos resultados:

Máximo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : - 2 ,   0,964 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : ( 2 ,   0,964 ) .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Máximo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : - 2 ,   0,964 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : ( 2 ,   0,964 ) .

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