Enunciado

Seja

g x = x 2 + 2 ,   s e     x < 1 2 x + 1 ,   s e     x ≥ 1

a ) Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g ' 1 .

b ) Esboce o gráfico de g .

Passo 1

Usando a definição de derivada:

g ' 1 = lim x → 1 ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

Bom, como aqui essa função é quebrada em x = 1 temos que ver se esse limite converge para o mesmo ponto tanto pela direita, quanto pela esquerda.

Passo 2

Começando pela esquerda. Fazemos o limite para quando x → 1 - :

lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = x 2 + 2 - [ 1 2 + 2 ] x - 1 = x 2 - 1 x - 1

Agora simplificando ao máximo esse limite temos:

lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x + 1 ( x - 1 ) x - 1 = 1 + 1 = 2

Show! Agora fazemos o mesmo processo, mas para a direita. Quando x → 1 + :

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = 2 x + 1 - [ 2 1 + 1 ] x - 1 = 2 x - 2 x - 1

Agora simplificando ao máximo esse limite temos:

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = 2 ( x - 1 ) x - 1 = 2

Opa! Como temos valores iguais para os limites bilaterais, então essa função é derivável em x = 1 :

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

Passo 3

Vamos ao esboço? Bora lá!

Com a ajuda de um programa de geração de gráficos temos:

Em azul temos a parábola ( x 2 + 2 ) e em vermelho temos a reta ( 2 x + 1 ) . Vemos que em x = 1 há uma transição suave entre as curvas e justamente por isso nesse ponto a função é derivável.

Resposta

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

g ' 1 = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é