Seja a > 0 , a != 1 . Mostre que

lim h → 0 ⁡ a h - 1 h = ln ⁡ a

Passo 1

Aqui vou usar um truque sujo: vou usaressa propriedade das funções exponenciais e logarítmicas:

A B = e l n A B

Sendo assim, substituindo a h por e l n ⁡ ( a h ) temos:

lim h → 0 ⁡ a h - 1 h = lim h → 0 ⁡ e ln ⁡ a h - 1 h = lim h → 0 ⁡ e h . ln ⁡ a - 1 h

Passo 2

Agora, seguindo de forma semelhante a demonstração do exemplo 3 do livro texto, vou fazer a seguinte substituição:

u = e h . ln ⁡ a - 1

E trabalhando um pouco essa expressão teremos:

e h . ln ⁡ a = u + 1

Agora tirando o logaritmo natural dos dois lados;

h . ln ⁡ a = l n ⁡ ( u + 1 )

E isolando h temos:

h = ln ⁡ u + 1 l n ⁡ ( a )

Certo?

Passo 3

Agora substituindo h e a h no argumento do limite temos:

a h - 1 h = u ln ⁡ u + 1 l n ⁡ ( a ) = u ln ⁡ a l n ⁡ ( u + 1 )

E dividindo em cima e embaixo por u temos (e usando a propriedade dos logarítmos logo na sequência):

u ln ⁡ a l n ⁡ ( u + 1 ) = u u ln ⁡ a 1 u l n ⁡ ( u + 1 ) = ln ⁡ a ln ⁡ u + 1 1 / u

Passo 4

Ah! E lembrando que se h → 0 , temos que u → 0 também, podemos substituir no nosso limite:

lim h → 0 ⁡ a h - 1 h = lim u → 0 ⁡ ln ⁡ a ln ⁡ u + 1 1 / u

Opa!! O que encontramos aqui no denominador??

O limite fundamental! Então teremos:

lim u → 0 ⁡ ln ⁡ a l n ⁡ ( e ) = l n ⁡ ( a )

Bem como foi pedido no exercício! Certo?

Vamos pra próxima?

Resposta

lim u → 0 ⁡ ln ⁡ a l n ⁡ ( e ) = l n ⁡ ( a )

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