Enunciado

Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule

lim h → 0 ⁡ f p - h - f p h

Passo 1

Se supormos que existam funções g u e u = f x , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F x = g u onde u = f x , x ∈ D f , lim x → p ⁡ f x = a ( u → a para x → p )

e que lim u → a ⁡ g u exista. Então:

lim x → p ⁡ F x = lim u → a ⁡ g u

Passo 2

Aqui vamos fazer uma mudança de variável:

u = - h

Temos então que u → 0 para h → 0 :

lim h → 0 ⁡ f p - h -   f p h = lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p - u = - lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p u

Vamos agora fazer outra mudança de variável:

x = p + u

Temos então que x → p para u → 0 :

- lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p u = - lim x → p ⁡ f x -   f p x - p = - L

Resposta

lim h → 0 ⁡ f p - h - f p h = - L

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