Seja f definida R . Suponha que lim x → 0 ⁡ f x x = 1 . Calcule

lim x → 0 ⁡ f x 2 x

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f x 2 x quando x se aproxima de 0 , sabendo que lim x → 0 ⁡ f x x = 1 .

Não daria pra gente simplesmente substituir x = 0 na função, porque a gente teria uma divisão por zero, que não existe. Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar multiplicando e dividindo a nossa expressão por x :

lim x → 0 ⁡ f x 2 x = lim x → 0 ⁡ x ∙ f x 2 x ∙ x

= lim x → 0 ⁡ x ∙ f x 2 x 2

Separando o limite do produto no produto dos limites, temos:

= lim x → 0 ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ f x 2 x 2

Vamos calcular os dois limites separadamente. Mas repara que no segundo limite o termo dentro de f é igual ao denominador.

Passo 3

Para o primeiro limite podemos aplicar direto:

lim x → 0 ⁡ x = 0

Já para lim x → 0 ⁡ f x 2 x 2 , vamos fazer uma mudança de variável e chamar:

u = x 2

Temos então que u → 0 para x → 0 :

lim x → 0 ⁡ f x 2 x 2 = lim u → 0 ⁡ f u u = 1

Passo 4

Agora é só voltar a expressão, multiplicando os resultados que obtivemos nos dois limites:

lim x → 0 ⁡ f x 2 x = lim x → 0 ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ f x 2 x 2

= 0 ∙ 1

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x 2 x = 0

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