Enunciado

Seja

F x , y = - y   i + x   j x 2 + y 2

  1. Mostre que ∂ P / ∂ y = ∂ Q / ∂ x .
  2. Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Sugestão: calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metades superior e inferior do cículo x 2 + y 2 = 1 de ( 1,0 ) a ( - 1,0 ) .] Isso contraria o Teorema 6 ?

Passo 1

  1. Calculando as derivadas parciais onde
  2. P = - y x 2 + y 2

    Q = x x 2 + y 2

    Primeiro a derivada de P em relação a y

    ∂ P ∂ y = - x 2 + y 2 + y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

    E agora de Q em relação a x

    ∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 - x ( 2 x ) x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

    Temos que

    ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

    Passo 2

  3. Como para que a integral de linha independa do caminho, temos que

∫ C F ⋅ d r = 0

Se pegarmos um circuito fechado e calcularmos a integral, sem obter zero, provamos que a integral depende do caminho.

Pegando a circunferência unitária como C e parametrizando da forma

C : r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π  

Temos que

∫ C F ⋅ d r = 0 = ∫ 0 2 π F r t ⋅ r ' t d t

Passo 2

Calculando F r t e r ' ( t )

F x , y = - y   i + x   j x 2 + y 2

F r t = - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t

r ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t

Substituindo na integral

∫ 0 2 π F r t ⋅ r ' t d t = ∫ 0 2 π - sen ⁡ t , cos ⁡ t ⋅ - sen ⁡ t , cos ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π d t = 2 π

Então a integral de linha de F depende do caminho e F não é conservativo.

Isso não vai contra o teorema 6, pois o domínio de F não contém a origem e a circunferência centrada na origem não pode ser colocada em uma região simplesmente conexa que contenha C , fazendo com que não possamos usar o teorema e de fato a função não é conservativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja F → um campo vetorial contínuo em R 2 . Justifique as igualdades. ∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2 Onde γ 1 t = cos ⁡ t , s e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π , e γ 2 u = cos ⁡ ( 2 π - u ) , s e n2 π
Seja F → um campo vetorial contínuo em R 2 . Justifique as igualdades. ∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2 Onde γ 1 t = t , t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 , e γ 2 u = u 2 , u 2 2 ,0 ≤ u ≤ 2