Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 35
Seja
- Mostre que .
- Mostre que não é independente do caminho. [Sugestão: calcule e onde e são as metades superior e inferior do cículo de a .] Isso contraria o Teorema ?
Passo 1
- Calculando as derivadas parciais onde
- Como para que a integral de linha independa do caminho, temos que
Primeiro a derivada de em relação a
E agora de em relação a
Temos que
Passo 2
Se pegarmos um circuito fechado e calcularmos a integral, sem obter zero, provamos que a integral depende do caminho.
Pegando a circunferência unitária como e parametrizando da forma
Temos que
Passo 2
Calculando e
Substituindo na integral
Então a integral de linha de depende do caminho e não é conservativo.
Isso não vai contra o teorema 6, pois o domínio de não contém a origem e a circunferência centrada na origem não pode ser colocada em uma região simplesmente conexa que contenha , fazendo com que não possamos usar o teorema e de fato a função não é conservativa.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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