Enunciado

Demonstre a fórmula 1 do Teorema 3.

(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = f^' (t) u (t) + f (t) u ' ( t )

Passo 1

Tomaremos

u (t) = [ u_1 (t) , u_2 (t) , u_3 (t) ]

Aplicando as regras usuais do produto de uma função escalar por um vetor, temos:

(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = (d)/(d t) [ f ( t ) u_1 (t) , f (t) u_2 (t) , f ( t ) u_3 (t) ]

Passo 2

Aplicando o Teorema 2 no resultado anterior temos:

(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = {(d)/(d t) [f (t) u_1 (t)] , (d)/(d t) [f (t) u_2 (t)] , (d)/(d t) [f (t) u_3 (t)]}

Passo 3

Agora, dentro das chaves, aplicamos a regra usual de derivação do produto de funções escalares.

(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = { [f ' (t) u_1 (t) + f (t) u_1 ' (t)] , [f ' (t) u_2 (t) + f (t) u_2 ' (t)] , [f ' (t) u_3 (t) + f (t) u_3 ' (t)] }

Passo 4

Aplicando as propriedade de soma de vetores, podemos alterar a soma dentro das chaves, dividindo-a em uma soma de dois vetores:

(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = { [f^' (t) u_1 (t) , f^' (t) u_2 (t) , f^' (t) u_3 (t)] + [ f (t) u_1^' (t) , f (t) u_2^' (t) , f (t) u_3^' (t) ] }

Passo 5

Por fim, colocando f^' ( t ) e f ( t ) em evidência, temos

(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = f^' (t) [u_1 (t) , u_2 (t) , u_3 (t)] + f ( t ) [ u_1^' (t) , u_2^' (t) , u_3^' (t) ]

(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = f^' (t) u (t) + f (t) u^' ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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